.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Покажем, что , докажем по определнию:

1.

Действительно, поскольку любой элемент множества имеет вид

то

Таким образом, поскольку , то

Покажем теперь, что эта граница неулучшаема.

2.

Надо показать, что .

Ясно, что в качестве здесь можно просто-напросто взять .

Покажем, что .

1.

Ясно, что

Покажем, что эта граница неулучшаема. А именно, что

2.

такое, что

Это неравенство равносильно

А это последнее неравенство равносильно

Но оно, очевидно, выполняется при достаточно большом .