Тема . Математический анализ

.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94388

Пусть $A,B ⊂ ℝ$ - какие-то множества на вещественной прямой. Дадим несколько вспомогательных определений:

Опр. Множеством их всевозможных сумм назовём множество

A + B оп=р.{a + b | a ∈ A,b ∈ B }

Опр. Множеством их всевозможных произведений назовём множество

опр. A ⋅B = {a ⋅b | a ∈ A,b ∈ B }

Опр. Сдвинутым на $c ∈ ℝ$ назовём множество

опр. A + c = {a+ c | a ∈ A }

Опр. Отраженным относительно нуля назовём множество

опр. − A = {− a | a ∈ A}

И пусть известно, что $A$ и $B$ - оба ограничены сверху, то есть у них существуют супремумы. Обозначим их:

α = supA,β = supB

Задача. Что можно сказать о:

supA ∪ B, supA ∩ B, sup A + B, sup A ⋅B, sup A + c, sup− A

?

Примечание. В вопросе о $supA ⋅B$ для простоты считать, что множества $A$ и $B$ оба содержат только неотрицательные числа. То есть $∀a ∈ A, ∀b ∈ B$ $a ≥ 0,b ≥ 0$ . В остальных же вопросах этого можно не предполагать.

Показать ответ и решение

1.

Во-первых, очевидно, что если $A$ и $B$ были ограничены сверху, то и их объединение $A ∪ B$ - тоже ограничено сверху. Давайте рассматривать случай, когда $A ∩ B ⁄= ∅$ . Ведь если $A ∩ B = ∅$ , то у пустого множества мы не можем определить супремум и этот случай не интересен. Если же $A ∩ B ⁄= ∅$ , то о супремуме $A ∪ B$ имеет смысл говорить - он заведомо существует.

Докажем, что

sup A ∪ B = max {α,β }

1 случай. Пусть $α ≤ β$ .

А раз так, то достаточно показать, что

sup A ∪ B = β

Во-первых, ясно, что $sup A ∪ B ≥ β$ , поскольку множество $A ∪B$ содержит в себе множество $B$ , а поэтому его супремум может быть разве что больше, чем у множества $B$ .

Докажем, что на самом деле выполнено и обратное неравенство, то есть что $sup A ∪ B ≤ β$ .

Но ясно, что $∀x ∈ A ∪ B$ выполнено $x ≤ β$ .

Действительно, возьмем $x ∈ A ∪ B$ . Если $x ∈ A$ , то $x ≤ α ≤ β по◟◝оп◜р◞. α по пред◟п◝◜о◞лож ению$ .

Если же $x ∈ B$ , то $x ≤ β$ по определению $β$ .

Таким образом, любой элемент объединения $A ∪ B$ не превосходит $β$ , а, значит, и $supA ∪ B ≤ β$ . Мы доказали неравенство в обратную сторону. Таким образом, получаем $supA ∪ B = β$ .

2 случай. $β ≤ α$ - рассматривается аналогично.

2.

Во-первых, очевидно, что если $A$ и $B$ были ограничены сверху, то и их пересечение $A ∩ B$ - тоже ограничено сверху. Поэтому о супремуме $A ∩B$ имеет смысл говорить - он заведомо существует.

Покажем, что

sup A ∩ B ≤ min {α,β}

Обозначим для удобства $m = min {α,β}$ .

1 случай. $m = α$ .

Ясно тогда, что в таком случае $∀x ∈ A ∩ B$ выполнено, что $x ≤ m$ . Ведь любой элемент из $A ∩ B$ лежит, в частности, в $A$ , а, значит, по определению $≤ α$ .

Следовательно, и $sup A ∩B ≤ m$ .

2 случай. $m = β$ Полностью аналогично.

3.

Ясно, что множество $A + B$ - тоже ограничено сверху, если и $A$ и $B$ были ограниченными. Поэтому о его супремуме имеет смысл говорить.

Покажем, что $sup(A + B ) = α + β$ Во-первых,

$pict$

Тогда $∀z ∈ (A + B )$ этот $z$ имеет вид $z = x + y$ (где $x ∈ A, y ∈ B$ ).
А, значит,

z = x + y ≤ α + β

Покажем теперь, что эта граница неулучшаема. То есть $∀𝜀 > 0∃z ∈ A + B такой, что z > α + β − 𝜀$ .

Воспользуемся тем, что нам дано по определению $α$ и $β$ . А именно, поскольку они супремумы, то $∀𝜀 > 0$

$pict$

Тогда:

$pict$

Что и требовалось доказать.

4.

Ясно, что множество $A ⋅B$ - тоже ограничено сверху, если и $A$ и $B$ были ограниченными сверху. Поэтому о его супремуме имеет смысл говорить.

Обозначим $MA = supA, MB = sup B$ . Мы договорились, что и $A$ и $B$ состоят из неотрицательных чисел, поэтому $MA ≥ 0,MB ≥ 0$ .

Покажем по определению, что

sup A ⋅B = MA ⋅MB

Если $MA = 0$ или $MB = 0$ , то соответствующее множество $A$ или $B$ состоит только из одного $0$ , следовательно $A ⋅B$ тоже состоит только из $0$ и $sup A ⋅B = 0$ . В этом случае утверждение верно, далее считаем $MA > 0$ и $MB > 0$ .

1)

Покажем, что для любого $z ∈ A ⋅B$ верно $z ≤ MA ⋅MB$ .

Так как $z ∈ A ⋅B$ , то $z = z ⋅z x y$ , где $0 ≤ z ∈ A x$ , $0 ≤ z ∈ B y$ .

По определению нижней грани мы знаем, что $zx ≤ MA$ и $zy ≤ MB$ .

Получаем, что $z = zx ⋅zy ≤ MA ⋅MB$ . Доказано.

2)

Покажем теперь, что эта граница неулучшаема. То есть покажем, что для любого $𝜀 > 0$ существует $z′ ∈ A ⋅B$ такой, что $z′ > M ⋅M − 𝜀 A B$ .

По определению супремума для множеств $A$ и $B$ мы знаем, что для любого $𝜀 > 0$ существуют такие $′ ′ x ∈ A, y ∈ B$ , что $′ -𝜀-- x > MA − 2MB$ и $′ -𝜀-- y > MB − 2MA$ .
Возьмем тогда $z′ = x′y′$ .
Получаем, что $z′ = x ′y′ > (MA − 2M𝜀B-)(MB − 2𝜀MA-) = MAMB − 2𝜀MB-MB − MA 2M𝜀A- + 2𝜀MB-2𝜀MA-=$
$= M M − 𝜀 − 𝜀 + -𝜀---𝜀--> M M − 𝜀 A B 2 2 2MB 2MA A B$ .
Что и требовалось доказать.

5.

Ясно, что множество $A + c$ - тоже ограничено сверху, если $A$ было ограниченным сверху. Поэтому о его супремуме имеет смысл говорить.

Покажем, что $sup(A + c) = α + c$

$pict$

тогда, Тогда $∀z ∈ A +$ этот $z$ имеет вид $z = x + c$ для какого-то $x ∈ A$ и поэтому

z = x+ c ≤ α + c

Покажем, что эта граница неулучшаема.

Покажем теперь, что эта граница неулучшаема. То есть $∀𝜀 > 0∃z ∈ A + c такой, что z > α+ c − 𝜀$ .

Воспользуемся тем, что нам дано по определению $α$ . А именно, поскольку $α = sup A$ , то $∀ 𝜀 > 0$

$pict$

Тогда для $z = x+ c$ будет выполнено:

$pict$

Что и требовалось доказать.

6.

Вообще говоря, задача некорректна, поскольку если даже $A$ было ограниченным сверху, то $− A$ таким быть не обязано. Например

A = (− ∞, 0)

Однако, если потребовать, чтобы и $A$ и $− A$ были оба ограничены сверху (а это то же самое, что потребовать, что $A$ - ограничено), то, разумеется, мы получим, что

sup(− A) = − inf A

В этом можно убедиться устной проверкой, или попросту нарисовав картинку.

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ