.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что какова бы ни была последовательность вложенных отрезков
их пересечение
всегда либо состоит из одной точки, либо является отрезком, и других вариантов нет.
Докажем, что
![∞⋂
[an,bn] = [sup an,inf bn]
n=1](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-5675cc4229e2e0bff07bbc236e5376a4.svg)
Действительно, если ![∞
x ∈ ⋂ [an,bn]
n=1](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-383937bbf1b5d3a2636ba32810702066.svg)
, то 
для всех 
, так как 
лежит в каждом
![[an,bn]](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-61a8a68426894f3acbaf4e144c82f663.svg)
. Но из того, что 
для всех 
следует, что 
– верхняя грань 
, а поэтому
. Аналогично показывается, что 
. Мы показали, что если 
лежит в каждом
отрезке, то 
лежит и в ![[sup an,inf bn]](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-8ba91d15b72ec56305dfb45b509a8248.svg)
.
Покажем обратное. Пусть ![x ∈ [sup an,inf bn]](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-95e3a2e17b87f0c4e7b09961109dcde9.svg)
. Тогда 
больше или равен 
, а значит 
–
верхняя грань 
. Точно также 
– нижняя грань 
. Поэтому 
и 
для всех 
, а
значит 
лежит в пересечении отрезков ![[an,bn]](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-3a570556e8e648bfe017e1c4c8a6801e.svg)
.
Итак, мы доказали, что ![∞
⋂ [an,bn] = [supan,inf bn]
n=1](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-ff9d120fc49b48edbbfb11d132a82866.svg)
. Но справа ![[sup an,inf bn]](/api/latex-service/v1/GetSession/191410/index-222b072b460452b67eecd5ef2a4ab0d8.svg)
- это либо отрезок
положительной длины, либо точка, если 
.
Что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
