.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить
конечную подсистему, покрывающую этот отрезок.
Указание. Рассмотреть покрытие какого-нибудь отрезка отрезками
нулевой длины.
Задача.*** Доказать, что из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда
можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок, даже если не
считать отрезки нулевой длины отрезками.
Рассмотрим ![I = [0;1]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-3bde29f77c08e17026c886dc87f0b376.svg)
и рассмотрим покрытие его отрезками нулевой длины ![Ix = [x,x ]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-28683a40668e2f37817290ce1516b763.svg)
. Ясно, что
любая точка 
содержится хотя бы в одном (и на самом деле ровно в одном) 
. То есть это
действительно по определению покрытие.
Очевидно также, что любая конечная подсистема из 
не может покрыть исходный отрезок
![[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-8b2cbc7e5d7d6063f693411a7e12b1c2.svg)
, поскольку любая конечная подсистема будет покрывать лишь конечное число точек.
А что если запретить для опровержения брать отрезки нулевой длины? Тем не менее, даже если это
запретить, все равно удается построить контрпример.
Рассмотрим ![I = [0;2]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-641f42c569f0543ad868fe81d017a3ae.svg)
. Пусть
![n − 1 n
In = [-----;-----] (n ∈ ℕ ), I ∗ = [1;2]
n n + 1](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-8038d2a7cdd1d155b35a5d07f68d5990.svg)
Ясно, что
Тогда понятно, что набор
покрывает отрезок 
. Но ясно, что из этого набора нельзя выделить конечный поднабор, все еще
покрывающий отрезок ![[0,2]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-acc3425a4a192f68df5a0f33f7db6e7f.svg)
. Ведь если мы выделим конечный поднабор, то мы оставим лишь конечное
число отрезков 
.
Но тогда не покроются точки, лежащие в 
правее самого правого из оставшихся из 
. То есть
не получится и покрытия ![[0,2]](/api/latex-service/v1/GetSession/191411/index-c90906e0ddcbbd2319dc7574949ceeaa.svg)
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
