.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

1. Если - ограничено, то существуют такие, что для любого выполнено

Тогда ясно, что

Нам нужно доказать, что имеет предельную точку. Докажем, что хотя бы одна точка отрезка является предельной для .

2. От противного. Пусть ни одна точка отрезка не является предельной для .

Это означает по определению, что

Но теперь, если взять непроколотые окрестности , то в каждой из них лежит не более одной точки множества (ибо в проколотых не было вообще ни одного элемента множества , значит, когда мы вернем обратно точку в её проколотую окрестность, эта непроколотая окрестность может содержать уже максимум один элемент из , а именно, этот сам , если он был из ).

Далее, ясно, что набор интервалов

образует покрытие отрезка .

3. По лемме Бореля-Лебега, выделим из этого покрытия конечное подпокрытие. Тогда получится, что отрезок содержится в конечном объединении интервалов

Но . Следовательно,

Однако как мы заметили, каждый интервал содержал не более одной точки множества . Значит, их конечное объединение содержит не более конечного числа точек множества .

Противоречие: