.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Ясно, что если в любой проколотой окрестности точки содержится бесконечно много точек , то содержится и хотя бы одна. Так что в одну сторону - очевидно.

Докажем в обратную сторону.

Итак, пусть в любой проколотой окрестности точки есть хотя бы один .

Возьмем какую-нибудь проколотую окрестность точки , то есть какой-то интервал вокруг точки , из которого мы выкинули сам :

По условию в этом множестве есть хотя бы один элемент множества . То есть

Далее, пусть - расстояние от до .

Тогда теперь рассмотрим новую проколотую окрестность точки , причем сразу заметим, что она содержится в старой проколотой окрестности:

В этой окрестности тоже должен быть элемент множества (т.к. - предельная для ). Обзовем этот новый элемент .

Заметим, что , поскольку мы выбрали новую, более узкую проколотую окрестность специально так, чтобы она уже заведомо не содержала .

Далее, пусть - расстояние от до .

Тогда теперь рассмотрим новую проколотую окрестность точки , причем сразу заметим, что она содержится в предыдущей проколотой окрестности:

В этой окрестности тоже должен быть элемент множества (т.к. - предельная для ). Обзовем этот новый элемент .

Заметим, что , поскольку мы выбрали новую, более узкую проколотую окрестность специально так, чтобы она уже заведомо не содержала и уж тем более .

И так далее...

Каждый раз мы будем выбирать новую, более узкую проколотую окрестность точки , не содержащую всех предыдущих элементов из , но по определению предельной точки обязанную содержать какой-то новый элемент из .

Таким образом, получим бесконечно много элементов из , каждый из которых лежит в более узкой окрестности. Но, поскольку все эти окрестности лежат в первоначальной окрестности , то и все найденные нами элементы из в ней содержатся. Вот мы и смогли найти бесконечно много элементов из в нашей первоначальной произвольной проколотой окрестности точки .