.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

a) Ясно, что любая точка, лежащая внутри луча будет предельной, поскольку любая проколотая окрестнсть такой точки будет непусто пересекаться с этим лучом.

Ясно так же, что и точка - тоже будет предельной, поскольку любая её проколотая окрестность тоже непусто пересекается с нашим лучом. Других предельных точек нет, потому что любая точка, лежащая вне имеет окрестность, пусто пересекающуюся с лучом . А именно, надо лишь взять окрестность радиуса меньше, чем расстояние от этой точки до 5.

b) У нет предельных точек. Потому что существует проколотая окрестность, пусто пересекающаяся с . А именно, надо всего лишь взять окрестность радиуса , где - это расстояние от до ближайшего к нему натурального числа (не считая самого , если вдруг оказалось само натуральным).

c) Каждое вещественное число будет предельной точкой для множества . А именно, какое бы ни взять, и какую бы проколотую окрестность

у него ни рассмотреть, в любом таком интервале найдется обязательно рациональное число. Следовательно, у любой точки в любой её проколотой окрестности есть элемент из - следовательно, любая точка - предельная для множества .

d) У конечного множества не может быть ни одной предельной точки. А именно, если бы была бы предельной для какого-то конечного множества , то что же тогда? Но мы же знаем, что в любой проколотой окрестности обязано было бы найтись бесконечно много точек из . Чего не может быть, потому что в в принципе конечное число элементов.

e) Утверждается, что любое число вида будет предельной точкой этого множества.

Действительно, пусть и пусть

- любая проколотая окрестность этой точки

Но тогда, если , то обязательно найдется такое , что , и, значит,

То есть в любой проколотой окрестности любой точки вида обязательно найдется элемент нашего множества.

Более-менее ясно, что любое число , не являющееся корнем из какого-то натурального числа, предельной точкой нашего множества не будет, потому что можно будет найти его проколотую окрестность, пусто пересекающуюся с нашим множеством.