.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

 1. Пусть

То есть у есть хотя бы два различных частичных предела и .

Это означает, что у есть две различные подпоследовательности и такие, что

(действительно, это должны быть различные подпоследовательности, потому что одна и та же подпоследовательность не может одновременно сходиться к двум разным пределам - почему?)

Пусть . Тогда по определению предела начиная с какого-то все члены подпоследовательности попадут в окрестность числа . И точно так же с какого-то все члены подпоследовательности попадут в окрестность числа .

Таким образом, при произойдет и то, и другое.

То есть начиная с некоторого момента бесконечно много членов последовательности (а именно, при ) попадут в окрестность , и с этого же момента другие бесконечно много членов последовательности (а именно, при ) попадут в другую, не пересекающуюся с первой, окрестность .

Но если бы последовательность сходилась, то все её члены, начиная с некоторого номера , попадали бы в любую, сколь угодно малую окрестность её предела. И уж точно не могли бы они находиться в непересекающихся окрестностях и , ведь они должны все, с какого-то момента, попасть в одну и ту же сколь угодно малую окрестность предела самой . А мы видим, что у бесконечно много членов находятся в непересекающихся окрестностях (и в той и в другой окрестности- бесконечно много).

Значит, они все не могут ни с какого момента оказаться в какой-то одной окрестности. Значит, не может быть такого, чтобы при все члены самой попали в какую-то одну окрестность какого бы то ни было числа.

Таким образом, сходиться не может.

2. Пусть

Но как мы уже знаем, верхний предел является частичным пределом, то есть

(мы доказывали такую теорему)

Аналогично, как мы уже знаем, нижний предел является частичным пределом, то есть

Таким образом, если , то мы попадаем как раз в ситуацию, когда у есть хотя бы два различных частичных предела. А как мы уже доказали в пункте 1., это влечёт расходимость .