.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Пусть сходится. Будем доказывать от противного. Предположим, у неё все таки нашлась такая подпоследовательность , которая расходится.

1 случай. - неограничена. Но тогда и сама , очевидно, неограничена. Но тогда сразу противоречие с тем, что сходится. Неограниченная последовательность сходиться не может.

2 случай. - ограничена. Тогда у нее заведомо существуют верхний и нижний пределы. Пусть

Коль скоро расходится по предположению, то обязательно

(в противном случае, если бы верхний предел совпадал с нижним, сошлась бы - такую теорему мы уже доказывали)

Однако, примем во внимание очевидное соотношение

Если же

То тем более не могут быть равны и крайние члены:

А из этого следует, что и сама последовательность - расходится. Вновь получаем противоречие.