Тема . Математический анализ

.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#97104

Пусть $a n$ - последовательность. Обозначим через $A$ множество ${a } n$ значений этой последовательности, то есть множество

A = {a ,a ,a ,...} 1 2 3

(то есть мы тупо в множество $A$ засунули все члены нашей последовательности.)

Заметим, что множество $A$ несёт в себе гораздо меньше информации, чем сама последовательность $an$ , потому что когда мы все её элементы засунули в множество, мы склеили совпадающие элементы и, более того, забыли про то, в каком порядке шли элементы в последовательности. Так как в множестве одинаковые элементы склеиваются и не учитывается порядок элементов.

Задача.
a) Доказать, что если $α$ - предельная точка множества $A$ , то $α ∈ Ч.П. (an)$ , то есть $α$ обязательно является частичным пределом последовательности $an$ ;

b) Привести пример, показывающий, что обратное - неверно. То есть привести пример такой последовательности $an$ , что $α ∈ Ч.П. (an)$ , но $α$ - не предельная точка $A$ ;

c) Привести пример такой последовательности $an$ , что любая $α$ такая, что $α ∈ Ч. П. (an )$ не является предельной точкой множества $A$ ;

d) Пусть $∃nli→m∞ an = λ$ . Обязана ли $λ$ быть предельной точкой множества $A$ ?

Показать ответ и решение

a) Пусть $α$ - предельная для $A$ . По определению это означает, что в любой проколотой окрестности точки $α$ есть бесконечно много элементов множества $A$
(на самом деле, в определении сказано - есть хотя бы один элемент множества $A$ , но, как мы уже доказывали, это эквивалентно тому, что и бесконечно много элементов множества $A$ тоже найдется в любой окрестности $α$ ).

Итак, возьмем проколотую окрестность радиуса $1$ точки $α$ . В эту окрестность попадёт хотя бы один элемент множества $A$ , то есть хотя бы один член последовательности $an$ . Назовём его $an1$ . То есть

an1 ∈ (α − 1,α + 1)∖ {α}

Далее, поскольку $an1 ⁄= α$ , то число $d = |an1 − α |$ (расстояние от $an1$ до $α$ ) будет положительно. Итак, $d > 0$ .

Тогда, опять же таки, возьмём окрестность точки $α$ радиуса $d2$ . Поскольку $α$ - предельная точка множества $A$ , то в этой окрестности найдется бесконечно много элементов множества $A$ . Причем среди них уже не будет $an1$ , поскольку все они ближе к $α$ , чем $an1$ .
Раз их бесконечно много, мы сможем выбрать элемент с номером бОльшим, чем $n1$ . То есть найдется $an2$ , лежащий в этой более узкой $d2$ -окрестности $α$ , причем $n2 > n1$ .

Будем так продолжать и далее, беря всякий раз $ank$ из окрестности радиуса в два раза меньше, чем расстояние от предыдущего, $ank−1$ до $α$ .

Получим подпоследовательность

a ,a ,...,a ,... n1 n2 nk

(номера у них действительно возрастают - по построению).

К тому же, ясно, что

ank → α, при k → ∞

Ибо расстояние от $ank$ до $α$ уж как минимум в два раза меньше, чем расстояние от $ank−1$ до $α$ . Следовательно, расстояния от $ank$ до $α$ стремятся к 0. А это в точности и означает то, что

a → α, при k → ∞ nk

Таким образом, мы построили подпоследовательность исходной последовательности, стремящуюся к $α$ . А это по определению значит, что

α ∈ Ч.П. (an)

b) Пусть

{ a = 0 если n- чётно n 5− 1n если n- нечётно

Ясно, что $0 ∈ Ч.П.(an)$ , поскольку подпоследовательность $a2n → 0$ . Однако $0$ не является предельной точкой множества $A$ , поскольку $A$ устроено следующим образом:

{ } A = 0,4,5− 1,5− 1,5− 1,5− 1,...,5− ---1-- ,... 3 5 7 9 2n − 1

Конечно же, 0 - не предельная точка множества $A$ , ведь не в любой проколотой окрестности нуля будет бесконечно много элементов из $A$ . Например, если взять проколотую окрестность нуля радиуса $1$ , то есть окрестность

(− 1,1)∖ {0}

То в неё не попадает вообще ни один элемент множества $A$ . То есть 0 - не предельная для $A$ , хотя и является частичным пределом $an$ .

c) Годится последовательность $a = (− 1)n n$ . Её множество значений $A$ состоит всего из двух чисел:

A = {− 1,1}

А потому $A$ вообще не имеет предельных точек (у конечного множества предельных точек нет).

Однако

Ч.П. (an ) = {− 1,1}

Таким образом, ни один частичный предел $an$ не является предельной точкой множества $A$ .

d) Вовсе не обязана. Пусть

a ≡ λ ∀n ∈ ℕ n

То есть $an$ - постоянная последовательность, все время равная $λ$ . Тогда

A = {λ}

и у $A$ вновь нет предельных точек (как у любого конечного множества).

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ