.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Ясно, что .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к 1, можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

Ясно, что .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к , можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

Ясно, что .

Действительно, в качестве подпоследовательности, стремящейся к , можно взять подпоследовательность, состоящую из членов

И так далее... Вообще, любое число вида будет частичным пределом по тем же причинам.

Более того, еще и число 0 будет частичным пределом , поскольку у есть подпоследовательность

Нетрудно показать, что других частичных пределов у нет.

Впрочем, поскольку нам надо было найти верхний и нижний пределы , нам достаточно заметить, что так или иначе, но частичного предела, большего 1, у нет уж совсем по очевидным причинам - не найдется такой подпоследовательности , которая стремилась бы к чему-то .

А то что нет частичного предела, меньшего 0, еще более очевидно - все члены последовательности положительны.

Следовательно,