.25 Супремум. Инфимум. Леммы о структуре вещественных чисел. Частичные пределы.

Мы уже знаем, что множество - счётно. То есть существует биекция

Эта биекция является фактически последовательностью , которая по натуральному числу возвращает е рациональное число .

Утверждается, что

Действительно, пусть - произвольное вещественное число.

Как мы уже знаем, в любой проколотой окрестности найдется хотя бы одна рациональная точка, то есть по сути хотя бы один элемент нашей последовательности .

Следовательно, точка является предельной точкой для множества . А из этого следует, что . Но было произвольным вещественным число, следовательно, любое вещественное число является частичным пределом . Что и требовалось.