Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#99200Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть корень из 2022. А также интересный коэффициент 2021. Что хочется сделать?

Подсказка 2

Давайте вычтем x³, чтобы получить коэффициент 2022. Ведь тогда мы сможем разложить выражение на множители!

Подсказка 3

Попробуем разложить на скобки. Получится, что хотя бы одна из двух скобок должна равняться 0. Один из корней сразу виден – это корень 6-ой степени из 2022. А вот второй пока непонятен. Что нужно сделать с уравнением 6-ой степени, чтобы мы умели его решать?

Подсказка 4

Конечно же, делаем замену на x³. Дальше остаётся неприятное квадратное уравнение, но даже с таким Вы точно справитесь!

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#102556Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 8x − 6x− 1 =0.

Источники: по мотивам Росатома - 2021

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить какие-то значения в левую часть, чтобы получить результаты разных знаков. Так мы сможем хотя бы приблизительно определить, где лежат корни.

Подсказка 2

Подставьте 1 и -1. На что намекает такое ограничение для x?

Подсказка 3

Какой-то корень лежит на [-1;1], значит, можем перейти к тригонометрической замене! А на что намекает куб?

Подсказка 4

Куб используется в формуле синуса тройного угла!

Подсказка 5

Не забудьте сделать обратную замену! Сколько корней осталось найти?)

Показать ответ и решение

Предположим, что $− 1≤ x≤ 1.$ Тогда существует $0 ≤y ≤2π,$ такой, что $siny = x.$ Тогда исходное уравнение:

3 8sin y− 6siny − 1= 0

3 −2(3 siny− 4sin y)=1

sin3y =− 1 2

Отсюда:

7π 19π 31π- 11π 23π- 35π y = 18, y = 18 , y = 18 , y = 18 , y = 18 , y = 18 .

Значит, у нас есть корни:

x1 =sin7π= sin 11π- 18 18

x2 = sin19π =sin35π 18 18

23π 31π x3 = sin 18 =sin18

Так как уравнение третьей степени имеет не более трёх корней, то $x1,$ $x2,$ $x3$ являются искомыми.

Ответ:

$sin7π,sin19π,sin23π 18 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#77813Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Источники: БИБН-2020, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, чётные степени дали нам явно неспроста, явно намёк за замену. После замены у такой страшной штуки имеет смысл поугадывать корни. Какой корень мы обычно в таких случаях проверяем в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, 1 подходит! А теперь, после того, как корни, равные 1, мы вытащили, посмотрите внимательно на оставшийся многочлен. Что можно сказать про его корни? Не забывайте про замену, которую мы сделали в начале и то, какие ограничения она накладывает на новую переменную!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#102525Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ----- ∘----2 --2t-2 + 3 1− t2-=1. 1+ t 1+t

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на дроби в уравнении. Где же нам встречались знаменатели такого вида, так ещё и 2t в числителе?

Подсказка 2

Первое подкоренное выражение — это синус некоторого угла! Тогда можно сделать замену и получить новое тригонометрическое уравнение, в котором мы сможем сделать какие-то оценки на слагаемые.

Подсказка 3

Замените t на тангенс половинного угла. Что можно сказать про кубический корень, как можно оценить его значения и какие из них подходят нам?

Подсказка 4

Разберите случаи отрицательного и положительного значения косинуса. Не забудьте про обратную замену ;)

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

α t= tg-2,α ∈ (−π,π).

Тогда

2t 1− t2 1+-t2 = sinα,1+-t2-= cosα

и исходное уравнение примет вид:

√sinα+ 3√cosα= 1

Если $cosα < 0$ , то левая часть (2) строго меньше 1 , и корней у (2) нет. В случае же, когда $cosα≥ 0$ и $sinα ≥0$ , имеем очевидное неравенство:

√sin-α+ 3√cosα≥ cos2α+ sin2α= 1

Причем равенство достигается, только когда или $cosα =$ 1 , или $sinα= 1$ . Значит, либо $α= 0$ , либо $α= π∕2$ . Подставив найденные значения $α$ в (1), найдем искомое $t$ .

Ответ: 0; 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#123422Максимум баллов за задание: 7

Про вещественные числа $m, n,x,y$ известно следующее:

(| mx +ny =4 ||||| 2 2 {mx +ny =2 ||||mx3 +ny3 =6 ||(mx4 +ny4 =38

Чему равно $((m +n)(x+ y)+ 5xy)(m +n +x+ y)?$

Источники: ФЕ - 2020, 11.6(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения в условии имеют похожий вид, но хорошо было бы связать их значения! Давай попробуем выразить одно через какие-то другие.

Подсказка 2

Представьте в виде суммы (x+y)(mxᵏ + nyᵏ), используя "соседние" степени.

Подсказка 3

Отлично, то есть теперь мы можем домножить все уравнения в условии на (x+y), и тогда можно будет совсем избавиться от степеней!

Подсказка 4

Осталось лишь записать нужное нам выражение через xy, (x+y) и (m+n) и воспользоваться новой системой равенств!

Показать ответ и решение

Заметим, что

( k k) ( k+1 k+1) ( k−1 k−1) mx + ny (x+ y)= mx + ny + xy mx + ny

A $(x+ y),$ очевидно, не равно нулю.

Тогда, домножив первые 3 равенства на $(x+ y),$ получим следующее:

( |||{2+ xy(m + n)= 4(x+ y) |6+ 4xy = 2(x+ y) ||(38+ 2xy = 6(x+ y)

Введём замену перменных: $x+ y = a,$ $xy = b,$ $m +n =c.$ Тогда искомое выражение запишется так:

(ac+ 5b)(a+ c)

Подставим замену в раннее написанную систему:

( ||| 2+ bc= 4a { 6+ 4b =2a |||( 38+2b= 6a

Из последних двух уравнений находим $a= 7$ и $b= 2,$ откуда $c =13.$ Тогда искомое выражение:

(ac+ 5b)(a +c)= (7⋅13+ 10)(7+ 13)= 101⋅20 =2020

Ответ:

$2020$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#51858Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе равенство очень похоже на квадрат суммы трёх слагемых...быть может, попробуем собрать его? А если не получится, то, может, преобразуем в два квадрата?

Подсказка 2

Второе выражение можно преобразовать в равенство двух квадратов (один из которых — квадрат суммы трёх слагаемых). Отсюда несложно разобрать случаи знаков выражений ;)

Подсказка 3

После того как мы разберём два случая для знаков, то у нас получится два равенства, в которых мы можем выразить y через x. Почему бы не применить явно первое условие? :)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#63906Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 8x+16 x − 8x +18 − 24 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что мы можем просто разложить выражение на множители, потом привести подобные и потом снова долго и мучительно раскладывать на множители. Но давайте придумаем что-нибудь поинтереснее. Посмотрите на то, как сильно похожи скобки в произведении. Давайте подумаем, как этим воспользоваться и какую формулу сокращенного умножения мы сможем применить!

Подсказка 2

Представьте х² - 8x + 16 как х² - 8x + 17 - 1. Как тогда можно представить вторую скобку, чтобы она получилась максимально похожа на первую? А какой формулой сокращенного умножения можем воспользоваться?

Подсказка 3

Верно! Сделаем так, чтобы у нас получилась разность квадратов и разложим по этой формуле! Посмотрите, что получилось теперь?

Подсказка 4

Верно, снова разность квадратов! Воспользуйтесь ей и разложите выражение на скобки, а дальше дело за малым – найти решение квадратных уравнений!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Положим $2 t= x − 8x +17$ , тогда получим

2 (t− 1)(t+ 1)− 24= 0⇐ ⇒ t− 1− 24= 0⇐⇒ t= ±5

Тогда либо

2 2 x − 8x +17= −5 ⇐⇒ x − 8x+22= 0

решений нет, поскольку $D∕4= 42− 22 <0,$

либо

x2− 8x +17= 5⇐ ⇒ (x − 4)2 = 4⇐⇒ x =4 ±2

Второе решение.

Обозначим левую часть уравнения

(x− 4)2((x− 4)2+ 2)= 24

за $f(x)$ . Заметим, что при $x ≥4$ функция монотонно возрастает, поэтому решений уравнения на этом промежутке может быть не более одного. При этом $f(6)= 22(22+ 2) =4⋅6= 24$ , так что $x= 6$ является решением. Легко видеть, что уравнение симметрично относительно $4$ , так что если решением является $x= 4+ 2,$ то решением является и $x= 4− 2,$ при этом решений меньше $4$ больше нет, так как иначе было бы соответствующие им решения и на промежутке $x> 4$ , а на нём решение только одно из монотонности, и мы уже его нашли.

Ответ:

2; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#70344Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2)( 2 10) ( 2 6)2 1 +x+ x 1+x +x + ...+ x = 1+ x+x +...+ x

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Скобка (1+x+...xⁿ) кажется очень знакомой, где мы её могли видеть?...

Подсказка 2

Точно! В формула разности n-ых степеней, ведь xⁿ - 1 = (x-1)(xⁿ⁻¹+...+x+1). То есть у нас часть произведения. Что же хочется сделать?...

Подсказка 3

Верно! Хочется дополнить до полного произведения. Домножим обе части на (x-1)(x-1). Что мы имеем теперь?

Подсказка 4

(x¹¹-1)(x³-1) = (x-7)². Осталось немного...

Подсказка 5

Раскройте скобки, приведите подобные и получите красивую штуку! Успехов!

Показать ответ и решение

Вспомним формулы сокращенного умножения. Домножим на $(x− 1)2 ⁄= 0$ , но учтём потом, что $x =1$ не является корнем.

( 2) ( 2 10) 2( 2 6)2 (x− 1)1 +x+ x (x − 1) 1+ x+x +...+ x =(x− 1) 1+ x+ x +...+x

(3 )(11 ) (7 )2 x − 1 x − 1 = x − 1

14 11 3 14 7 x − x − x +1 =x − 2x +1

x11+ x3− 2x7 =0

$x= 0$ — корень. Поделим на $x3 ⁄= 0$

x8 − 2x4+ 1= 0

( )2 x4− 1 =0 ⇐ ⇒ x =±1

$x= 1$ — посторонний корень

Ответ:

${−1;0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#92080Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x(x− 1)(x− 2)(x− 3) =(x+ 1)(x+ 3).

Показать ответ и решение

Давайте перемножим $x$ и $x− 3$ , а потом $x− 1$ и $x− 2$ для того, чтобы затем попробовать сделать замену $t= x2− 3x$ . Получится:

2 2 (x − 3x)(x − 3x+ 2)= (x +1)(x +3)

2 2 2 (x − 3x+ 1)− 1= x + 4x +3

Замена не получается, но выходит:

(x2− 3x+1)2− (x +2)2 = (x2− 4x− 1)(x2− 2x+ 3)= 0

У второго множителя дискриминант меньше 0, а у первого корни $2± √5$ .

Ответ:

$2± √5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#67153Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(3 ) (2 )2 4 x − x = x +1

Источники: Ломоносов, 2012, 8--9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд в голову приходит только раскрытие скобок. Что ж, здесь это сделать просто, поэтому сделаем это)

Подсказка 2

Хм, многочлен четвёртой степени... Такое просто так не решишь. Разложить на множители не получается. Можно заметить, что коэффициенты этого уравнения с точностью до знаков симметричны! Но пока не особо понятно, как это может помочь( А давайте подумаем над следующей идеей: может, можно привести это уравнение к квадратному? Сразу это сделать не получается, но можно, например, преобразовать этот многочлен так, чтобы максимальная степень была равна 2...

Подсказка 3

Сделать это можно, разделив уравнение на x², предварительно заметив, что x ≠ 0. А теперь можно погруппировать слагаемые, так как теперь вся надежда на замену!

Подсказка 4

Ура, здесь можно сделать замену t = x - 1/x. Остаётся только решить получившееся квадратное уравнение и сделать обратную замену! Подобные уравнения, в которых коэффициенты симметричны, часто решаются с помощью деления на x², запомните этот приём)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки: