Базовый вариант осеннего тура Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан отрезок ![[0;1]](/api/latex-service/v1/GetSession/142870/index-c8ec9e59d2851ebbb0da173d1902ffc4.svg)
. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на
доску произведение длин этих двух новых отрезков. Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит
.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попытаемся понять, как выглядит сумма чисел на доске в общем виде. Начнём разбивать наш отрезок и записывать числа. На втором разбиении попробуйте заменить один из отрезков на сумму двух. У вас получится просто сумма попарных произведений всех длин. Как тогда наша сумма будет выглядеть в общем виде? Докажите это по индукции.
Подсказка 2
Верно, в итоге, у нас получится сумма всевозможных попарных произведений отрезков. База понятна, а дальше нужно по аналогии в сумме заменить длину вновь разбитого отрезка через сумму двух новых. Отлично, с этим справились! Заметим, что нам известна сумма всех отрезков. Как можно выразить теперь сумму попарных произведений для удобной оценки?
Подсказка 3
Точно, ведь нашу сумму можно выразить через разность квадрата суммы всех отрезков и суммы квадратов каждого из отрезков. Только нужно ещё поделить пополам. Вот тут нам и пригодится знание про сумму отрезков. Осталось понять, почему мы получили требуемое, и победа!
Пусть через 
шагов мы поделили отрезок на отрезки 
. Индукцией по 
покажем, что сумма чисел, записанных на доске,
равна сумме всевозможных попарных произведений чисел 
.
База очевидна.
Переход: Пусть на 
шаге сумма равна 
. На 
-м шаге мы делим 
-й отрезок на отрезки 
и 
, тогда
сумма примет вид:
В данном случае 
— попарные произведения чисел 
без 
, а 
— сумма этих же
чисел без 
. Таким образом, на 
-м шаге также получили всевозможные попарные произведения.
Тогда задача свелась к тому, что нужно доказать, что сумма всевозможных попарных произведений чисел меньше 
, если их сумма
равна 
, а это следует, например, из того, что:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
