Отбор Всесиба
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр 
.
Найти минимальное и максимальное возможное значение 
.
Пункт а), подсказка 1
Если мы разбиваем прямоугольник на 25 маленьких, тогда что можно сказать про площадь самого большого из них?
Пункт а), подсказка 2
Верно, она должна быть не меньше 1/25. В таком случае, можно оценить его периметр по неравенству о средних!
Пункт а), подсказка 3
Да, по неравенству о средних его периметр будет не меньше 0.8, нужно только показать, что это значение достигается. Для оценки максимума попробуйте написать оценки на прямоугольник площадь которого не больше 1/25.
Пункт а), подсказка 4
Да, площадь какого-то прямоугольника(причем он обязательно существует) не больше 1/25. Можно обозначить его стороны за a и b, причем каждое из них не больше единицы! В таком случае, будет верно, что a*(p/2-1) ≤ 1/25. Осталось исследовать эту функцию(где она принимает минимальные значения) и привести пример!
Пункт б), подсказка 1
Попробуем перейти от исходного квадрата к другому квадрату поменьше, который мы можем замостить одинаковыми прямоугольниками! Что для этого можно сделать?
Пункт б), подсказка 2
Да, можно вырезать «рамку» из исходного прямоугольника с помощью четырех прямоугольников размером x*(1-x). Тогда, в центре останется квадрат размером (1-2x)*(1-2x). Что можно попробовать сделать с этим квадратом?
Пункт б), подсказка 3
Да, этот квадрат можно попробовать разрезать на 26 равных, площадь каждого из которых будет: (1-2x)*(1-2x)/26. А дальше вспоминаем, что периметр такого прямоугольника должен быть равен 2!
(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем 
, обозначим его стороны за 
и 
. По неравенству о
среднем арифметическом и средним геометрическом имеем
Значение 
достигается для разбиения квадрата на 
одинаковых квадратиков со стороной 
По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на 
прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его
стороны за 
и 
) площади 
не больше 
При этом 
Следовательно, 
для
![[ ]
x ∈ p2 − 1;1.](/api/latex-service/v1/GetSession/138857/index-100b990d42e34bb19790183665a21276.svg)
Функция 
является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке
принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны 
Следовательно,
Разбиение квадрата на 
равных прямоугольников со сторонами 
и 
даёт пример 
(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.
Попробуем отрезать от исходного квадрата 
"рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число 
Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером 
так, чтобы в центре остался квадрат размером
Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером
Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение
Таким образом, 
В итоге получаем следующее разбиение.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
