Отбор Всесиба

Для начала заметим, что так как — диаметр полуокружности. По условию прямая — перпендикуляр к , то есть Тогда в четырехугольнике внутренний угол равен внешнему углу при противоположной вершине. Значит, четырёхугольник вписанный.

Так как — середина полуокружности, а опирающийся на эту дугу вписанный угол

как вертикальные углы, а потому что — вписанный четырехугольник.

Тогда то есть прямоугольный треугольник имеет угол в Значит, — равнобедренный и

Если за столом больше двух рыцарей, то какие-то два из них не соседи и ни один из них не может сказать, что все за столом, кроме, может быть, него и его соседей, лжецы, ибо это будет ложью. Если за столом один рыцарь, то для любого лжеца, соседнего с ним, эта же фраза будет правдой, которую ему говорить не положено. Тоже самое будет верно для любого лжеца, если за столом вообще нет рыцарей.

Рассмотрим значения функции при и . Для этих значений так что неравенство из условия можно переписать в виде

что эквивалентно равенству

Следовательно, значение принимается функцией дважды, при и при , что противоречит условию.

Пусть сначала Заметим, что не может делиться на иначе наименьшее общее кратное и равно а это меньше В частности,

Далее, наименьшее общее кратное и делится на и поэтому делится на и а значит делится на и делится на Из делимости на следует что вместе с предположением влечёт Тогда из делимости на и следуют делимость 4 на и возможности Проверка показывает, что решением в этом случае является

Теперь рассмотрим случай из делимости на следует или Если то делится на тогда делится на и является решением задачи.

Если то нечётно, Тогда должно делиться на значит делится на что невозможно.

Пусть

Поскольку условие задачи эквивалентно , т.е. .

С другой стороны, . Следовательно, , и т.к. точки и лежат по одну сторону от , точки и лежат на одной окружности. Иными словами, лежит на — описанной окружности

Пусть — описанная окружность

Легко проверить, что центр окружности совпадает с точкой — серединой дуги и лежит на , а значит — и на биссектрисе угла

Из неравенства треугольника (для ) следует

Поэтому . Равенство достигается тогда и только тогда, когда принадлежит , что означает

(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем , обозначим его стороны за и . По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем

Значение достигается для разбиения квадрата на одинаковых квадратиков со стороной

По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его стороны за и ) площади не больше При этом Следовательно, для Функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны Следовательно,

Разбиение квадрата на равных прямоугольников со сторонами и даёт пример

(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.

Попробуем отрезать от исходного квадрата "рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером так, чтобы в центре остался квадрат размером

Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером

Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение

Таким образом, В итоге получаем следующее разбиение.

Рассмотрим случаи.

1) , тогда , откуда , что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

2) , тогда , откуда что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

3) . Домножим первое уравнение на . получим . Домножим второе уравнение на , получим

Поделим второе уравнение на первое, получим

откуда

С учётом первого уравнения, Заменяя , получаем биквадратное уравнение , откуда – всего 4 решения.

Предположим, что можно представить в виде суммы попарно различных натуральных чисел таких, что среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно различных. Общее количество пар из чисел равно и должно быть не меньше поэтому С другой стороны, ввиду очевидных неравенств:

имеем и Следовательно, и каждая невыписанная попарная сумма чисел равна одной из семи сумм, рассмотренных в длинном неравенстве. Всего нерассмотренных сумм три:

и все они больше и меньше По условию, они должны совпадать с суммами

в указанном порядке. Отсюда: следовательно, числа образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна , откуда следует, что число должно делиться на — противоречие.

Если в каждой строке не больше двух различных букв, то общее их число не превосходит . Далее можно считать, что в первой строке ровно три различных буквы. Если каждая из оставшихся строк имеет хотя бы одну общую букву с первой, то общее число букв не превосходит . Пусть имеется строка, можно считать, вторая, в которой три различных буквы, отличных от букв первой строки. Тогда в каждом столбце кроме букв первой и второй строк может быть не более одной новой буквы, всего не более .

Пример расстановки 11 различных букв: по главной диагонали таблицы из левого нижнего угла в правый верхний записаны первые пять различных букв, по соседней снизу диагонали — следующие четыре, в левом верхнем углу — десятая, а в остальных клетках — одиннадцатая буквы.

По формулам после преобразований получаем

откуда

Следовательно,

Каждый лжец дружит хотя бы с одним рыцарем. Но так как каждый рыцарь дружит ровно с одним лжецом, у двух лжецов не может быть общего друга-рыцаря. Тогда каждому лжецу можно поставить в соответствие его друга рыцаря, откуда получается, что рыцарей, по крайней мере, столько же, сколько и лжецов. Так как всего жителей на острове нечётное число, то равенство невозможно. Значит, рыцарей больше.

Предположим противное. Упорядочим данные числа и обозначим их за что Заметим, что если мы рассматриваем тройку вида то в силу соображения, что среднее арифметическое чисел лежит между их минимумом и максимумом, среднее арифметическое данной тройки будет равно

Рассмотрим сначала тройку

Следовательно, и образуют арифметическую прогрессию. При этом если её разность нулевая, т.е. эти числа равны, то, рассматривая тройки вида мы получим, что все числа равны, поэтому данная прогрессия имеет ненулевую разность.

Аналогично рассмотрев тройку показываем, что эти числа тоже образуют арифметическую прогрессию. Пусть и — это арифметическая прогрессия с ненулевой положительной разностью тогда и Рассмотрим тройку

Но такого числа нет на доске, противоречие.

Заметим, что если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтальной строке, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами — и одинаковую ширину, так что в этом случае всё доказано. Аналогично в случае с вертикальным столбцом.

Рассмотрим случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах, и докажем, почему данный случай невозможен.

Действительно, тогда квадраты попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остаётся одна свободная строка и один свободный столбец, но тогда прямоугольник, стоящий на пересечении ”свободной” строки и ”свободного” столбца, будет ещё одним, десятым квадратом. В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя суммарную ширину девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов, а высота любого квадрата равна его ширине. Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен.

Всего в строке и столбце, проходящих через данную клетку 19 клеток, поэтому если мы проделаем операции со всеми парами строк и столбцов таблицы (всего операций), то каждый знак в таблице поменяется 19 раз, став из минуса плюсом.

100 операций достаточно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Операцию замены знаков во всех клетках некоторого столбца и некоторой строки будем называть операцией относительно клетки-пересечения этих строки и столбца. Клетки, относительно которых мы делали операции, назовём красными, остальные синими. Строки и столбцы, содержащие чётное число красных клеток назовём чётными, а содержащие нечётное число красных клеток — нечётными.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Допустим, можно поменять все знаки в таблице меньше чем за 100 операций, тогда рассмотрим некоторую синюю клетку в строке и столбце . Чтобы знак в поменялся, нужно, чтобы, чтобы и вместе содержали нечётное количество красных клеток, можно считать строку чётной, а столбец — нечётным.

Заметим, что на пересечении строки и столбца одинаковой чётности должна стоять красная клетка, а на пересечении строки и столбца разной чётности — синяя, иначе знак в этой клетке после всех операций не изменится. Следовательно, количество красных клеток в каждой чётной строке равно числу чётных столбцов, а количество синих — числу нечётных столбцов таблицы. Есть хотя бы одна чётная строка , значит, всего в таблице чётное число нечётных столбцов. Но количество красных клеток в каждой нечётной строке (нечётное!) равно числу нечётных столбцов, то есть чётному числу — противоречие с тем, что есть хотя бы один нечётный столбец. Следовательно, нельзя обойтись меньше, чем 100 операциями.

Ввиду симметрии можно считать, что . Тогда при замене пары на пару , получим

увеличение искомого выражения, следовательно, максимум нужно искать среди дробей . При замене пары на пару , получим

Ввиду того, что , имеем

поэтому

и предыдущая разность положительна. Следовательно, максимум выражения достигается при и равен

Каждой паре выбранных точек соответствует длина отрезка, их соединяющего, которая может принимать различных значений (длины диагоналей или стороны). Всего пар . Если равны длины каких-то трёх отрезков, то по принципу Дирихле у каких-то двух есть общая точка, они и образуют равнобедренный треугольник.

Далее рассмотрим более сложный случай, то есть есть не более двух отрезков для каждой длины. Отсюда следует, что пар с равной длиной будет хотя бы . Если в какой-то паре отрезки совпали по одной из вершин, то мы нашли нужный треугольник, потому считаем, что в каждой паре отрезков все четыре вершины различны, то есть образуют четырёхугольник, в котором равны либо две стороны, либо диагонали.

Заметим, что обе пары сторон равны быть не могут, поскольку тогда мы бы получили прямоугольник, а в -угольнике не может быть диагонали-диаметра. Отсюда следует, что в четырёхугольнике не более двух пар равных отрезков, одной из которых будут диагонали. Однако пары равных отрезков три, потому есть два различных четырёхугольника, которые пересекаются по трём точкам (всего точек ).

Заметим, что каждый четырёхугольник является равнобедренной трапецией, в которой диагональ является наибольшим отрезком. При выборе любых трёх точек диагональ будет одним (наибольшим) из отрезков полученного треугольника, потому диагонали трапеций равны. Но тогда они образуют три равных отрезка из первого пункта, поскольку обе диагонали различных четырёхугольников не могут совпадать.

При удвоении стипендии Маши общий доход всей семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, значит, она составляет от общего дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют и Значит, пенсия дедушки составляет процентов. Если её удвоят, то доход семьи возрастёт на