Отбор Всесиба

Предположим, что можно представить в виде суммы попарно различных натуральных чисел таких, что среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно различных. Общее количество пар из чисел равно и должно быть не меньше поэтому С другой стороны, ввиду очевидных неравенств:

имеем и Следовательно, и каждая невыписанная попарная сумма чисел равна одной из семи сумм, рассмотренных в длинном неравенстве. Всего нерассмотренных сумм три:

и все они больше и меньше По условию, они должны совпадать с суммами

в указанном порядке. Отсюда: следовательно, числа образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна , откуда следует, что число должно делиться на — противоречие.