Отбор Всесиба

Подсказка 1

Попробуем пойти от противного. Тогда 2016 можно представить в виде суммы n попарно различных чисел. Всего пар чисел можно составить n(n-1)/2. Какая нижняя оценка получается на n?

Подсказка 2

Верно! Должно получиться не менее 7 пар, и поэтому n ≥ 5. С другой стороны, наши числа можно упорядочить по возрастанию. Складывая наименьшее число последовательно со всеми остальными, получим n-1 различное число. А можно ли аналогично получить еще суммы, которые отличаются от уже построенных?

Подсказка 3

Можно! Последнее из уже получившихся чисел представляет собой сумму первого и последнего числа. Тогда можно складывать последнее число последовательно со вторым, третьим и так далее. Мы получим n-2 попарно различных числа, отличающихся от первых n-1. Как теперь можно сверху оценить n?

Подсказка 4

Верно! Всего получится 2n-3 различных числа, а их должно быть не больше 7, поэтому n ≥ 5. Выходит, что n = 5! Теперь легко выписать все возможные суммы наших чисел. Всего получится 10 сумм, а среди них только 7 различных. Причем ранее мы уже указали 7 попарно различных сумм! Попробуем теперь рассмотреть три оставшихся. С какими другими суммами они должны совпадать?

Подсказка 5

Ясно, что мы не рассматривали суммы между вторым и третьим, вторым и четвертым, третьим и четвертым числами. Кроме того, понятно, что они попарно различны. Благодаря тому, что остальные 7 сумм нам удалось упорядочить, можно найти среди них суммы, которые должны совпадать с нашими тремя. Как это сделать?

Подсказка 6

Верно! Они должны совпадать с суммами первого и четвертого, первого и пятого, второго и пятого чисел! Тогда можно вычесть равенства и заметить, что все наши числа образуют арифметическую прогрессию. Могло ли так получиться?