Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.18 Окружность: вписанная в многоугольник или угол

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2500Максимум баллов за задание: 1

Острый угол ромба равен $30∘,$ радиус вписанной в этот ромб окружности равен $2.$ Найдите сторону ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно $S =p ⋅r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

$Sромб = S = a2⋅sin α,$ где $a$ — сторона ромба, $α$ – его угол. Следовательно, $S = a2⋅ 12 = 12a2.$ Полупериметр ромба равен $2a.$ Тогда

1 2 2a =2a ⋅2 ⇒ a= 8

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2502Максимум баллов за задание: 1

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 9 и 12. Найдите среднюю линию трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна $9+ 12= 21.$ Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ: $21 :2= 10,5.$

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#11712Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен $∘ 30 .$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем из центра $O$ вписанной в ромб окружности радиусы $OK$ и $OL$ к сторонам $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда получим отрезок, который является высотой ромба, так как точки $K,$ $O,$ $L$ лежат на одной прямой. Значит, длина $KL$ равна

1,5+ 1,5 = 3

$PIC$

Опустим из вершины ромба $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD.$ Прямые $BH ∥KL,$ так как $BH ⊥ AD$ и $KL ⊥AD.$ С учетом $BK ∥HL$ получаем, что $BKLH$ — параллелограмм и

BH = KL = 3

Рассмотрим треугольник $ABH.$ В нём $∠AHB = 90∘$ и катет $BH$ лежит напротив угла в $30∘.$

Тогда сторона ромба равна

AB = -BH---= 2⋅3= 6 sin 30∘

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#37900Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $AC =12,$ $BC = 5.$ Найдите радиус вписанной окружности.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора

∘--2---2 AB = 12 + 5 = 13

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

AC + BC − AB 12 +5 − 13 r =------2------= ----2---- = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#57980Максимум баллов за задание: 1

Сторона ромба равна 10, острый угол равен $30∘.$ Найдите радиус окружности, вшисанной в ромб.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $K$ и $N$ — точки касания окружности со сторонами $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда $OK ⊥ BC,$ $ON ⊥AD,$ где $O$ — центр окружности. Так как $BC ∥AD,$ то точки $K,$ $O,$ $N$ лежат на одной прямой, следовательно, отрезок $KN$ равен высоте $BH$ ромба и равен диаметру окружности. Рассмотрим $△ ABH.$ Он прямоугольный, катет $BH$ лежит напротив угла $∘ 30,$ следовательно, он равен половине гипотенузы $AB =10.$ Таким образом, $BH = 5.$ Но $BH$ равен диаметру, следовательно, радиус окружности равен 2,5.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#58461Максимум баллов за задание: 1

В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, при этом $AB =17$ и $CD = 21.$ Найдите периметр четырехугольника $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, поэтому

BC + AD = AB + CD =17 +21 =38

Найдём периметр четырёхугольника $ABCD :$

P = (AD + BC)+ (AB + CD )= 38+ 38 = 76 ABCD

Ответ: 76

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#75872Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике $NSK$ гипотенуза $N K = 53,$ катет $N S = 28.$ Найдите радиус вписанной в треугольник $NSK$ окружности.

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле

a-+-b−-c r = 2 ,

где $a,b$ — катеты, $\text{[math]}$ — гипотенуза.
По теореме Пифагора в треугольнике $N SK$ находим катет $SK :$

2 2 2 2 2 SK = NK − N S = 53 − 28 = (53− 28)⋅(53+ 28) = 25 ⋅81,

SK = 5 ⋅9 = 45.

Найдем $r :$

28+ 45− 53 r = -----------= 10. 2

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#75874Максимум баллов за задание: 1

Площадь треугольника $N SK$ равна $1,5.$ Радиус вписанной в него окружности равен $0,2.$ Найдите периметр треугольника $N SK.$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = pr,$ где $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной в него окружности. Полупериметр $p = S∕r,$ тогда периметр треугольника

P = 2S∕r = 2 ⋅1,5∕0,2 = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#75887Максимум баллов за задание: 1

В четырехугольник, периметр которого равен 34, и две стороны равны 8 и 15 вписана окружность. Чему равна меньшая из оставшихся сторон?

Показать ответ и решение

суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны. Периметр равен 34, поэтому сумма противоположных сторон равна $34 : 2 = 17.$ Стороны длиной 8 и 15 являются соседними, так как их сумма не равна 17. Оставшиеся две стороны равны $17 − 8 = 9$ и $17 − 15 = 2.$ Меньшая из оставшихся сторон имеет длину 2.