Регион 11 класс

Предположим, что требуемая расстановка существует. Ясно, что наибольшее из чисел не может равняться разности соседей; значит, каждое из остальных чисел равно разности соседей. В частности, наибольшее число встречается ровно один раз; обозначим его через

Пусть — одно из наименьших чисел в круге. Рассмотрим любую из двух дуг между и пусть на ней стоят подряд числа Докажем индукцией по что В базовом случае утверждение верно, ибо — наименьшее число. Для перехода от к предположим, что и Тогда равенство невозможно, ибо и поэтому Значит, что и доказывает переход индукции. Мы заодно показали, что при всех

Аналогично, если на другой дуге между и стоят подряд числа то и при всех Наконец, для числа условие задачи также должно выполняться, так что Без ограничения общности можно считать, что тогда

Продолжим теперь последовательности и согласно формулам и Докажем индукцией по , что При это уже доказано выше. При из соотношений получаем

Для перехода индукции предположим теперь, что и утверждение уже доказано для меньших значений По предположению индукции, имеем

откуда

что и требовалось.

Итак, мы получили, что

Значит, равенство возможно лишь при но тогда общее количество чисел в круге равно что не может равняться Противоречие.