Регион 11 класс

Первое решение. Назовём длиной слова количество букв в нём. Пусть — буквы алфавита. Тогда нетрудно проверить, что хорошим является слово

Осталось показать, что нет хороших слов большей длины.

Предположим, что в -буквенном алфавите существует хорошее слово длины Тогда какая-то буква (скажем, встречается в нём хотя бы три раза. Отметим её второе и предпоследнее вхождение в слово (тогда стоит не правее, чем

Любая другая буква встречается не более одного раза перед а также не более одного раза после иначе вычёркиванием можно получить запрещённую последовательность. Значит, каждая из букв встречается не более двух раз. Более того, если такая буква и встречается дважды, то одно из её вхождений стоит до а другое — после

Пусть встречается раз. Тогда между и стоят хотя бы буквы, отличных от (по одной между соседними вхождениями и все такие буквы встречаются ровно по разу. Выделим таких буквы. Остальные буквы могут встречаться максимум по два раза. Поэтому длина слова не превосходит

что противоречит нашему предположению.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Приведём другое доказательство того, что длина хорошего слова не превосходит Индукция по В базовом случае буквы в слове чередуются, и слово длины хотя бы содержит фрагмент вида из которого вычёркиванием букв можно получить Для перехода предположим, что в -буквенном алфавите есть хорошее слово длины, не меньшей Тогда какая-то буква встречается в этом слове хотя бы три раза. Предположим, что букв, встречающихся хотя бы раза, две — и Пусть, без ограничения общности, второе вхождение стоит раньше второго вхождения тогда вычёркиванием букв можно получить слово что невозможно. Значит, буква встречается в слове раз, а все остальные — максимум по два раза. Тогда длина слова не меньше, чем и не больше, чем откуда Между вторым и третьим вхождением буквы есть какая-то буква Эта буква не может встречаться в других местах: если она встречается после второго вхождения то вычёркиванием букв можно получить а если до него — то (поскольку Пусть соседи буквы различны. Тогда, удалив её из слова, мы получим хорошее слово в -буквенном алфавите (без буквы Длина этого слова будет не меньше что противоречит индукционному предположению. Если же соседи буквы одинаковы, удалим из слова и букву перед ней; тогда на этом «стыке» останутся различные буквы. Поэтому мы опять получим хорошее слово в -буквенном алфавите, длина которого не меньше, чем это опять же невозможно по индукционному предположению.