Разложение на целые скобки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие пары целых чисел 
и 
, что 
Источники:
Подсказка 1:
Давай заметим, что в правой части равенства почти полный квадрат. Не хватает 1. Давайте добавим её слева и справа.
Подсказка 2:
Также хотелось бы разложить на скобочки левую часть, притом желательно на взаимно простые. Если не получается угадать разложение, рассмотрите выражение слева как квадратный трёхчлен относительно (n-2)!.
Подсказка 3:
Итак, вы получили равенство ((n - 1)! - 1)((n - 2)! - 1) = (m - 1)². Являются ли скобки в левой части взаимно простыми?
Подсказка 4:
Для дальнейших продвижения необходимо вспомнить, что если произведение взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из них является квадратом. Кстати, почему это так?
Подсказка 5:
Теперь осталось показать, что при больших n какая-то из скобок не сможет быть большим квадратом. Учитывая особенности факториалов, стоит подумать про остатки. Например, при делении на 4 квадраты могут иметь далеко не все остатки.
Заметим, что
Пусть 
Заметим, что числа 
и 
взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся
на простое число 
Тогда число
тоже делится на 
Тогда 
делится на 
а 
не кратно 
противоречие. Таким образом, произведение взаимно
простых чисел 
и 
—– точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако, число 
при
даёт остаток 3 при делении на 4, поэтому оно точным квадратом быть не может. Остаётся разобрать случаи 
При 
получается 
решений нет. При 
мы получаем: 
что даёт единственное решение 
,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
