Регион 11 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доску записали три рациональных положительных числа. Каждую минуту числа на доске 
стираются, а вместо них
выписываются числа 
Докажите, что начиная с некоторого момента на доске не будет появляться целых
чисел.
Источники:
Заметим сразу, что все числа, появляющиеся на доске, положительны и рациональны. Пусть 
— числа на доске после 
минут, а
— исходные числа.
Положим 
Тогда 
и 
В частности, 
и, аналогично,
Положим 
и пусть 
— представление этого числа в виде несократимой дроби. Тогда 
и
потому
где последняя дробь также несократима (ибо 
и 
взаимно просты). Итак, 
и 
В частности,
при 
и потому 
при 
Иными словами, последовательность
строго возрастает.
Обозначим через 
произведение всех числителей и знаменателей чисел 
и 
Тогда при некотором 
имеем
Докажем, что с 
-й минуты все числа на доске нецелые. Действительно, пусть, скажем, 
— целое при 
Тогда
и потому
Знаменатель этого числа в несократимой записи делит 
но это невозможно, ибо 
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
