Тема . Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79703

Пусть I  — центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, M  и N  — точки касания вписанной окружности сторон   AB  и BC  соответственно. Через точку I  проведена прямая ℓ,  параллельная стороне AC,  и на неё опущены перпендикуляры AP  и CQ.  Докажите, что точки M,N,P  и Q  лежат на одной окружности.

Источники: Всеросс., 2021, РЭ, 11.7(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на рисунок и поймëм, что у нас не особо много способов, через которые можно доказать, что PMNQ вписанный. Единственный способ - доказать, что сумма противолежащих углов равна 180 градусов.

Подсказка 2

Постарайтесь найти на рисунке, как можно больше прямых углов. Некоторые из них стягивают одни и те же отрезки.

Показать доказательство

PIC

Пусть углы BAC  и BCA  треугольника ABC  равны, соответственно 2α  и 2γ.  Углы AP I  и AMI  — прямые, поэтому точки A,P,M,I  лежат на одной окружности с диаметром AI.  Тогда ∠AMP  = ∠AIP =  (в силу параллельности) = ∠IAC =α.  Аналогично ∠QNC = γ.  Из равнобедренного треугольника MBN  находим: ∠BMN  = 180∘−-∠M2BN--= α+ γ.  Тогда ∠P MN = ∠PMA  +(180∘− ∠BMN  )=180∘− γ.  Но ∠P QN =∠ICN = γ,  значит, сумма углов PMN  и PQN  равна 180∘,  то есть точки M, N,P  и Q  лежат на одной окружности.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!