Регион 11 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны неотрицательные числа 
такие, что 
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Знаменатель каждой дроби можно оценить хорошо по неравенству о средних, но пока знак не в ту сторону. Попробуйте выделить целую часть в дроби так, чтобы она стала с минусом.
Подсказка 2
Запишем a³/(a² + b + c), как a - a(b + c)/(a² + b + c). Какое неравенство получится, если оценить знаменатель каждой дроби по неравенству о средних?
Подсказка 3
Верно! Получаем после преобразований неравенство √(a+b) + √(b +c) + √(c + d) + √(a + d) ≤ 8. Попробуйте сгруппировать естественным образом слагаемые и каждое из них оценить. Не забывайте, что a + b + c + d = 8!
Заметим, что
Здесь мы оценили знаменатель по неравенству о средних:
Сложим полученное неравенство с тремя аналогичными. Теперь нам достаточно доказать, что
Поскольку 
это равносильно неравенству
Но из неравенства между средним арифметическим и среднем квадратичным мы получаем, что
и, аналогично,
Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
