Тема . Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80578

Даны неотрицательные числа $a,b,c,d$ такие, что $a+ b+ c+d =8.$ Докажите, что

---a3--- --b3--- ---c3--- --d3---- a2+ b+ c + b2 +c+ d + c2+ d+a + d2+a +b ≥ 4

Источники: Всеросс., 2022, РЭ, 11.10(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что

a3 a(b +c) a(b+c) √b-+c- a2+b+-c = a− a2+-b+-c ≥ a− 2a√b-+c-=a −-2-

Здесь мы оценили знаменатель по неравенству о средних:

a2+b+ c> 2a√b+-c

Сложим полученное неравенство с тремя аналогичными. Теперь нам достаточно доказать, что

√---- √ ---- √---- √---- a+ b+c+ d− -a-+b −--b+c − -c+-d− -d+-a-≥4 2 2 2 2

Поскольку $a+ b+ c+d =8,$ это равносильно неравенству

√---- √---- √---- √ ---- -a+-b+ -b+-c+ -c-+d +--d+-a≤ 4 2 2 2 2

Но из неравенства между средним арифметическим и среднем квадратичным мы получаем, что

∘ ----------------- √a+-b √c-+d- (√a+-b)2-+(√c+-d)2 2 + 2 ≤ 2 =2

и, аналогично,

√---- √---- -b+-c+ -a-+d-≤2 2 2

Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse