Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.17 Окружность: описанная около многоугольника

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#137452Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $58∘,$ угол $CAD$ равен $39∘.$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$BCAD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘∘ ABCD335998$

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD.$ Поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD =58∘+ 39∘ = 97∘.

Ответ: 97

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#137453Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62∘,$ угол $CAD$ равен $41∘.$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘∘ ABCD446112$

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD = 62∘+ 41∘ = 103∘.

Ответ: 103

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#20594Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98∘,$ угол $CAD$ равен $44∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$BCAD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘ ABCD44?44$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = = ∠ABC − ∠CAD =98∘− 44∘ = 54∘.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#137454Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103∘,$ угол $CAD$ равен $42∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$BCAD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘ ABCD44?22$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = = ∠ABC − ∠CAD = 103∘− 42∘ =61∘.

Ответ: 61

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#137455Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120∘,$ угол $ABD$ равен $43∘.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘ ABCD4?3$

∠CAD = ∠CBD = ∠ABC − ∠ABD = = 120∘− 43∘ = 77∘.

Ответ: 77

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#137456Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $136∘.$ Найдите угол $BCD.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180∘.$

$ABCD1?36∘$

У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $BAD$ и $BCD$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∘ ∠BAD +∠BCD = 180

Выразим угол $BCD$ и подставим известные значения:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BCD = 180 − ∠BAC = 180 − 136 = 44 .

Ответ: 44

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#137457Максимум баллов за задание: 1

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $99∘$ и $117∘.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180∘.$

$ABCD9191∘7∘$

У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $BAD$ и $BCD$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∘ ∠BAD +∠BCD = 180

Выразим угол $BAD$ и подставим известные значения:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠BCD = 180 − 117 = 63 .

Аналогично углы $ABC$ и $ADC$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∠ABC +∠ADC = 180∘

Выразим угол $ADC$ и подставим известные значения:

∠ADC = 180∘− ∠ABC = 180∘− 99∘ =81∘.

Таким образом, больший из оставшихся углов равен $∘ 81 .$

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#137458Максимум баллов за задание: 1

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59∘$ и $102∘.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180∘.$

$ABCD5190∘2∘$

У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $BAD$ и $BCD$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∘ ∠BAD +∠BCD = 180

Выразим угол $BAD$ и подставим известные значения:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠BCD = 180 − 102 = 78 .

Аналогично углы $ABC$ и $ADC$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∠ABC +∠ADC = 180∘

Выразим угол $ABC$ и подставим известные значения:

∠ABC = 180∘− ∠ADC =180∘− 59∘ = 121∘.

Таким образом, больший из оставшихся углов равен $∘ 121 .$

Ответ: 121