Стереометрия на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в
этом множестве существует такое бесконечное подмножество 
что любые два разных куба из 
не имеют параллельных
рёбер.
Источники:
Подсказка 1
Рёбра куба задаются трёмя направляющими векторами, на которых они лежат. Получается, нам нужно доказать, что существует бесконечно много таких непараллельных направляющих.
Подсказка 2
Мы знаем, что существует бесконечно много кубов с непараллельными ребрами. Чтобы их получить, можно просто много раз повернуть какой-нибудь куб. Но что делать с тем, что координаты должны быть целыми?
Подсказка 3
Одна из важных идей — это гомотетия. Если все вершины куба имеют рациональные координаты, то мы можем подобрать коэффициент гомотетии так, чтобы они стали целыми. Но можем ли мы поворачивать куб так, чтобы координаты вершин всех повёрнутых кубов были рациональными? Можем! Осталось только строго расписать задачу: подобрать общий вид направляющих векторов и доказать, что они перпендикулярны.
Решение 1. Рассмотрим куб с тремя направляющими векторами рёбер вида 
где
Числа 
подобраны так, что
поэтому указанные три вектора попарно перпендикулярны. Выбирая 
получаем набор кубов без параллельных рёбер
(нетрудно проверить, что никакие два соответствующих вектора не пропорциональны).
Замечание. Геометрически эту конструкцию можно описать так: векторы рёберстандартного единичного куба 
поворачивают на подходящий угол вокруг диагонали 
(так, чтобы координаты новых векторов оказались рациональными), а затем
применяют гомотетию с подходящим коэффициентом, превращающую рациональные координаты в целые.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение 2. Рассмотрим куб с тремя направляющими векторами рёбер вида
Длина каждого ребра равна тогда 
Нетрудно проверить, что векторы попарно перпендикулярны через равенство скалярного
произведения нулю. Выбирая 
снова получаем бесконечный набор кубов без параллельных рёбер (никакие два
соответствующих вектора не пропорциональны).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
