Тема ТурГор (Турнир Городов)

Стереометрия на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85517

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$ , а боковых граней - в точках $K,M$ и $N$ . Прямые $P K,PM,PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $′ ′ ′ K ,M ,N$ . Докажите, что прямая SP проходит через центр описанной окружности треугольника $′ ′ ′ K M N$ .

Источники: Турнир городов - 2024, весенний тур, 11.5 (см. turgor.ru)

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Сделаем гомотетию с центром $P$ и коэффициентом 2. Пусть $′′ ′′ ′′ K ,M ,N$ — образы точек $′ ′ ′ K ,M ,N ,T$ — точка пересечения прямой $SK$ с плоскостью $ABC$ . Тогда $TK =T P$ как касательные к сфере, и, поскольку треугольники $PKT$ и $′′ K KS$ подобны, то $′′ SK = SK$ . Аналогично $′′ ′′ SM = SM,SN = SN$ . Но $SK = SM = SN$ как касательные, следовательно $S$ — центр окружности $′′ ′′ ′′ K M N$ , а середина $SP$ — центр окружности $KMN.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим сферу, проходящую через точки $K,M,N$ , с центром в точке $S$ , через $ω$ , вписанную сферу пирамиды — через $γ$ , а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды — через $α$ .

Сделаем инверсию с центром в точке $P$ , переводящую $γ$ в $α$ . Тогда точки $K,M, N$ перейдут в точки $K′,M′,N′$ . Так как $ω ⊥γ$ , то образ $ω$ будет перпендикулярен $α$ . Следовательно, образом $ω$ будет сфера, построенная на окружности ( $K′M′N′$ ) как на диаметральной окружности.

Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.

Рассмотрим стереографическую проекцию сферы $S$ на плоскость $π$ из точки $P ∈ S$ . Пусть $Q$ — точка вне сферы $S$ , а окружность $ω$ на $S$ , образованная касательными к $S$ из $Q$ , не проходит через $P$ . Тогда образом $ω$ будет окружность $ω′$ с центром в точке пересечения плоскости $π$ с лучом $PQ$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67555

Дана треугольная пирамида $SABC$ , основание которой — равносторонний треугольник $ABC$ , а все плоские углы при вершине $S$ равны $α$ . При каком наименьшем $α$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

Источники: Тургор - 2023, 11.1 (см. turgor.ru)

Показать ответ и решение

Докажем, что при $α= 60∘$ пирамида правильная. Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $1.$ Заметим, что в любом треугольнике с углом $∘ 60$ против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно $1 :$ например, $SA >1.$ Тогда в гранях $SAB$ и $SAC$ рёбра $SB$ и $SC$ будут меньше $1,$ и значит, в грани $SBC$ ребро $BC$ — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами $∘ α< 60$ при вершине $S.$

$PIC$

Рассмотрим треугольник $SAB$ c $SA = SB$ и $∠S =α.$ Так как $AB < SB,$ на стороне $SA$ существует такая точка $C,$ что $BC = AB.$ Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны $α,$ и отложим на его ребрах отрезки $SA,$ $SB,$ $SC.$ Пирамида $SABC$ — искомая.