Стереометрия на устном туре Турнира Городов

Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно например, Тогда в гранях и рёбра и будут меньше и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине

Рассмотрим треугольник c и Так как на стороне существует такая точка что Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны и отложим на его ребрах отрезки Пирамида — искомая.