Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.15 Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2485Максимум баллов за задание: 1

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $92∘.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то

∘ ∘ ∠ABC = 0,5⋅92 = 46

Ответ: 46

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2486Максимум баллов за задание: 1

Угол между хордой $AB$ и касательной $BC$ к окружности равен $32∘.$ Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой $AB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга $A⌣B$ равна $2⋅32∘ = 64∘.$

2 способ.

$PIC$

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠OBC = 90∘.$ Следовательно,

∠OBA = 90∘ − 32∘ = 58∘

Так как $OB = OA$ — радиусы, то треугольник $OBA$ равнобедренный, следовательно,

∠AOB = 180∘− 2⋅58∘ = 64∘

Так как дуга равна центральному углу, опирающемуся на нее, то меньшая дуга $⌣ AB$ равна $∠AOB$ и равна $64∘.$

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2487Максимум баллов за задание: 1

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с градусной мерой $62∘$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то

∘ ∘ ∠ABC = ∠BAC = 0,5 ⋅62 = 31

Следовательно, из $△ABC$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 180 − 2 ⋅31 = 118

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2488Максимум баллов за задание: 1

Угол $ACO$ равен $24∘.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Найдите градусную меру дуги $AD,$ заключенной внутри этого угла, если $B$ и $D$ — точки пересечения секущей $CO$ с окружностью. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой $AB.$ Она равна центральному углу $AOB,$ на нее опирающемуся.

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠OAC = 90∘.$ Следовательно, из треугольника $OAC :$

∘ ∘ ∘ ∠AOC = 90 − 24 = 66

Тогда имеем:

∘ ∘ ∠AOD =180 − ∠AOC = 114

Дуга $AD,$ заключенная внутри угла $ACD,$ равна центральному углу $AOD$ и равна $114∘.$

Ответ: 114

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2489Максимум баллов за задание: 1

Найдите угол $ACB$ между секущими из точки $C$ к окружности, если вписанные углы $ADB$ и $DAE$ опираются на дуги окружности с градусными мерами $118∘$ и $38∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 0,5(118 − 38 )= 40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74394Максимум баллов за задание: 1

Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $S.$ Дуга $AB,$ заключённая внутри угла $ASB,$ равна $40∘,$ а дуга $CD,$ заключённая внутри угла $CSD,$ равна $14∘.$ Найдите $∠ASB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме дуг, заключенных между ними. Таким образом,

1 ( ⌣ ⌣ ) ∠ASB = 2 AB + CD = 1 ∘ ∘ 1 ∘ ∘ = 2 ⋅(40 + 14 )= 2 ⋅54 =27

Ответ: 27

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#103827Максимум баллов за задание: 1

Найдите величину угла $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O,$ отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66∘.$ Ответ дайте в градусах.

$OACB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ OACB66?$

Так как $O$ — центр окружности, а точка $A$ лежит на окружности, то $OA$ — радиус.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит радиус $AO$ перпендикулярен касательной $AC,$ то есть угол $OAC$ равен $90∘.$

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Угол $AOB$ — центральный опирается на дугу $AB,$ поэтому $∠AOB = 66∘.$

Сумма углов в треугольнике равна $180∘.$ Запишем равенство для треугольника $OAC :$

∘ ∠OAC +∠AOC + ∠ACO = 180 .

Выразим угол $ACO :$

∠ACO = 180∘− ∠OAC − ∠AOC = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 90 − 66 = 24 .

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#103828Максимум баллов за задание: 1

Найдите угол $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O,$ отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рис.), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $17∘.$ Ответ дайте в градусах.

$OACB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ OACB1?7$

Так как $O$ — центр окружности, а точка $A$ лежит на окружности, то $OA$ — радиус.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Угол $AOB$ — центральный опирается на дугу $AB,$ поэтому $∠AOB = 17∘.$

Сумма углов в треугольнике равна $180∘.$ Запишем равенство для треугольника $OAC :$

∠OAC +∠AOC + ∠ACO = 180∘.

Выразим угол $ACO :$

∘ ∠ACO = 180 − ∠OAC − ∠AOC = = 180∘− 90∘ − 17∘ = 73∘.

Ответ: 73

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#103829Максимум баллов за задание: 1

Угол $ACO$ равен $57∘.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$OACB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$OACB?57∘$

Так как $O$ — центр окружности, а точка $A$ лежит на окружности, то $OA$ — радиус.

Сумма углов в треугольнике равна $180∘.$ Запишем равенство для треугольника $OAC :$

∘ ∠OAC +∠AOC + ∠ACO = 180 .

Выразим угол $AOC :$

∘ ∠AOC = 18∘0 − ∠∘OAC ∘− ∠AC∘O = = 180 − 90 − 57 = 33 .

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Угол $AOB$ — центральный опирается на дугу $AB,$ поэтому дуга $AB$ равна $33∘.$

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#103830Максимум баллов за задание: 1

Угол $ACO$ равен $62∘.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

$OACB$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ OACB?62$

Так как $O$ — центр окружности, а точка $A$ лежит на окружности, то $OA$ — радиус.

Сумма углов в треугольнике равна $180∘.$ Запишем равенство для треугольника $OAC :$

∘ ∠OAC +∠AOC + ∠ACO = 180 .

Выразим угол $AOC :$

∠AOC = 180∘− ∠OAC − ∠ACO = = 180∘− 90∘ − 62∘ = 28∘.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Угол $AOB$ — центральный опирается на дугу $AB,$ поэтому дуга $AB$ равна $∘ 28 .$

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#23576Максимум баллов за задание: 1

Угол между двумя исходящими из одной точки касательными к окружности равен $∘ 56 .$ Найдите градусную меру меньшей из дуг, заключенных между точками касания.

Показать ответ и решение

Пусть точка $O$ — центр окружности, $T$ — точка пересечения касательных, $A$ и $B$ — точки касания. Так как по условию $∠AT B = 56∘$ и проведенный в точку касания радиус окружности перпендикулярен касательной, то

∠OAT = ∠OBT = 90∘

$PIC$

Тогда по сумме углов четырёхугольника $ATBO$ имеем:

∘ ∠AOB = 360 − ∠AT B − ∠OAT − ∠OBT = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = 360 − 56 − 2⋅90 = 180 − 56 = 124

Тогда градусная мера меньшей дуги $AB$ равна $∘ 124.$

Ответ: 124