Теория чисел на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?
Источники:
Подсказка 1
При переходе из 10-й в 7-ую систему счисления число ведет себя непонятным образом, попробуйте подобрать такое число, чтобы в 7-й системе было приятно с ним работать
Подсказка 2
Какие числа в семеричной системе легко переводятся в десятичную систему счисления?
Подсказка 3
aₙ = 7ⁿ+7ⁿ⁻¹…+7+1 в семеричной системе счисления записывается так: 111…111 (n+1 единица). Всегда ли aₙ не имеет нулей?
Подсказка 4
Чтобы не сильно менять вид числа aₙ будем добавлять числа вида 7^k, k ≤ n
Подсказка 5
Пусть ноль где-то есть, какую степень семерки нужно взять чтобы избавиться от 0, но не совершить переход через разряд?
Подсказка 6
Найдётся степень семёрки, лежащая между 10^i и 7×10^i. Докажите, что перехода через разряд не произойдёт.
При любом натуральном 
положим 
Покажем, что к 
можно прибавить несколько различных степеней
семёрки, не превосходящих 
чтобы получилось число 
без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись 
будет
состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел 
удовлетворяющих
условию.
Итак, рассмотрим десятичную запись числа 
рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в 
-м разряде
справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки 
лежащая между 
и 
заметим, что она
меньше 
и поэтому меньше 
После прибавления её к 
перехода из 
-го разряда не произойдёт (так как
первая цифра 
меньше 
), при этом в 
-м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в
десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в 
применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим
меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число
Бесконечно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
