Теория чисел на устном туре Турнира Городов

Первое решение. Пусть Поскольку среди цифр есть хотя бы одна недевятка. Значит, Покажем, что Отсюда будет следовать, что

Эта оценка достигается при что и даёт ответ. Имеем

где и при Заметим, что Пусть наибольший индекс, при котором Тогда

что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Ясно, что можно минимизировать (положительное) число Пронумеруем цифры в слева направо Пусть — наименьший номер, для которого (тогда и ибо ).

Рассмотрим произвольный оптимальный пример. Заменим первые и последние цифр на девятки. не изменится, не уменьшится, то есть наша дробь не увеличится. По этой же причине можно заменить на Заменим на а на При этом не увеличится, а не уменьшится. Заменим все цифры на нули, а на девятки. Тогда не увеличится, а если и уменьшится, то на меньшую величину (это произойдёт только тогда, когда вторая половина и так была девятками!). Поскольку в оптимальном примере (в первом просто меньше цифр), то, ясно, не возрастёт. Итак, можно считать, что имеет вид

В этом случае

Это выражение достигает минимума при и при этом же достигается максимум значения рассматриваемых Значит, это и есть ответ.