Теория чисел на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Возрастающая последовательность натуральных чисел 
такова, что при каждом целом 
число 
равно
наименьшему натуральному числу, большему чем 
и не делящемуся ни на одно из чисел 
. Докажите, что в такой
последовательности лишь конечное количество составных чисел.
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно доказать, что начиная с какого-то m все числа нашей последовательности станут простыми. Допустим, что для какого-то n > m выполняется aₙ = d*t, где t ≤ d. Из условия мы понимаем, что d у нас не является числом вида aₖ, где k < m. Тогда как мы можем оценить d?
Подсказка 2
Точно! Мы можем тогда сказать, что aₖ < d < aₖ₊₁ для k < m. Тогда если мы возьмём достаточно большое m (например, 100), то мы также знаем, что d > a₁₀₀. Что теперь можно сказать про делители числа d, если мы знаем, что d не является членом нашей последовательности?
Подсказка 3
Верно! Мы получаем, что d делится на какое-то aₚ, где p ≤ k. Тогда какое противоречие мы получаем для aₙ?
Докажем, что все 
, большие 
, — простые числа. Предположим противное, тогда некоторое 
раскладывается как
, где 
, и следовательно 
. Согласно определению 
не является ни одним из 
.
Тогда 
для какого-то 
. Раз 
не было выбрано в качестве 
, оно делится на какое-то
. Но тогда и 
делится на 
. Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
