Тема 2. Задачи на векторы

2.06 Скалярное произведение векторов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#69655Максимум баллов за задание: 1

$ABCD$ — четырехугольник со стороной $AB = 2.$ $O$ — такая точка внутри этого четырехугольника, что $−→ −−→ AO = OC,$ $−−→ −−→ BO = OD.$ Найдите скалярное произведение векторов $−→ AB$ и $−−→ CD.$

$ACBDO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$ACBDO$

Из равенства векторов $−A→O = −−O→C,$ $−−B→O = −O−→D$ следует, что 1) отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O;$ 2) $O$ — середина этих отрезков. Из этого следует, что $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, $−→ −−→ AB = −CD.$ Следовательно,

−→ −−→ AB ⋅CD = 2 ⋅2 ⋅cos180∘ = −4

Ответ: -4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#69772Максимум баллов за задание: 1

Дан четырехугольник $ABCD.$ На сторонах $AD$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MD = BN :NC = 3:4.$ Точки $K1,$ $K2$ и $K3$ — середины отрезков $AB,$ $MN$ и $CD$ соответственно. Длина отрезка $K1K3 = 7.$ Найдите скалярное произведение $−−−→ −−−→ K1K2 ⋅K2K3.$

$DABCMNKKK123$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$DABCMNKKK123$

Заметим, что $−−→ −−→ K1A = − K1B,$ $−−−→ −−−→ K2M = −K2N,$ $−−−→ −−→ K3D = −K3C.$

Пусть $−A−→D = 7⃗a,$ $−−B→C = 7⃗b.$ Тогда $−A−M→ = 3⃗a,$ $−M−→D =4⃗a,$ $−−B→N = 3⃗b,$ $−N−→C = 4⃗b.$ Следовательно,

( ) ( ) −K−1−K→2 = 1 −K−1→A + −K−1→B + −A−→M +−B−N→ +−M−K−2→ + −−N−K→2 = 1 3⃗a+ 3⃗b 2 2 −−−→ 1(−−−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ ) 1( ) K2K3 = 2 K2M + K2N + MD + NC +DK3 + CK3 = 2 4⃗a+ 4⃗b −−−→ 1(−−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→) 1 ( ) K1K3 = 2 K1A + K1B + AD + BC + DK3 + CK3 = 2 7⃗a+ 7⃗b

Таким образом, векторы $−K−1−K→2,$ $−K−2−K→3$ и $−K−1−K→3$ коллинеарны, то есть точки $K1,$ $K2$ и $K3$ лежат на одной прямой. Следовательно, из разложений этих векторов по векторам $⃗a$ и $⃗b$ следует, что $3 K1K2 = 7K1K3 =3,$ $K2K3 = 4 K1K3 =4. 7$ Следовательно,

−−−→ −−−→ ∘ K1K2 ⋅K2K3 =K1K2 ⋅K2K3 ⋅cos0 = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#69830Максимум баллов за задание: 1

Дано уравнение окружности $(x− 1)2 +y2 =8$ и точка $A(3;y),$ лежащая на этой окружности. Если $O$ — центр окружности, $⃗ i(1;0)$ — координатный вектор, то найдите скалярное произведение $−→ OA$ и $⃗i.$

$OA$

Показать ответ и решение

Так как $A$ лежит на окружности, то координаты точки $A$ удовлетворяют уравнению окружности. Следовательно,

2 2 (3− 1) + y = 8 ⇔ y = 2

Следовательно, $A(3;2).$ Координаты центра окружности находятся из уравнения: $O(1;0).$ Следовательно,

−→ ∘------ √ - OA(2;2) ⇒ OA = 22 +22 = 2 2

Так как $−→ OA (2;2),$ то угол наклона вектора $−→ OA$ к положительному направлению оси абсцисс равен $45∘,$ то есть угол между $−→ OA$ и $⃗i$ равен $45∘.$

$xyOA⃗i$

Следовательно,

−→ √- OA ⋅⃗i= 2 2 ⋅1⋅cos45∘ = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#69867Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости даны точки $A (−6;1),$ $B (0;5),$ $C(6;−4)$ и $D(x;y).$ Известно, что $ABCD$ — прямоугольник. Найдите $y.$

$xy110ABC$

Показать ответ и решение

Проверим, что $∠B = 90∘.$ Тогда скалярное произведение $−A→B ⋅−B−→C = 0.$

−→ AB (6;4) −→ −−→ ∘ −−→ ⇒ AB ⋅BC = 6⋅6− 4⋅9 =0 ⇒ ∠ABC = 90 BC (6;−9)

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB ∥ CD$ и $AB = CD,$ следовательно, $−A→B = −D−→C.$ Тогда

−D−→C = (6 − x;−4 − y) =(6;4) ⇒ −4− y = 4 ⇔ y = −8

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#69868Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости даны точки $A (− 6;1),$ $B (0;5),$ $C(6;−4)$ и $D(0;−8).$ Найдите ординату точки $O$ пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD.$

$xy110ABCD$

Показать ответ и решение

Докажем, что $∠B = 90∘.$ Это будет верно, если скалярное произведение $−→ −−→ AB ⋅BC =0.$

−A→B (6;4) −→ −−→ −−→ ⇒ AB ⋅BC = 6⋅6− 4⋅9 =0 ⇒ ∠ABC = 90∘ BC (6;−9)

Заметим, что $−D−→C (6;4) =−A→B.$ Следовательно, $AB = CD$ и $AB ∥CD.$ Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник. Значит, $O$ — середина $AC.$ Следовательно,

( 6− 6 1− 4) O -2--;-2-- = (0;−1,5)

Следовательно, ордината точки пересечения диагоналей равна -1,5.

Ответ: -1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#69869Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости даны точки $A(−6;1),$ $B(x;5)$ и $C(6;− 4).$ Известно, что $△ABC$ — прямоугольный с прямым углом $∠B.$ Найдите $x.$

$xy110AC$

Показать ответ и решение

Если $∠ABC =90∘,$ то скалярное произведение $−B→A ⋅−−B→C = 0.$ Имеем

−→ BA(− x− 6;− 4) 2 −−→ ⇒ (− x−6)(6−x)+ (− 4)⋅(− 9)= 0 ⇔ −36+x +36 = 0 ⇔ x= 0 BC (6− x;−9)

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#75892Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗n(0,75;− 5),$ $⃗s(0;− 2)$ и $⃗k(− 4;k0).$ Найдите $k0$ , если $⃗k ⋅(⃗s − ⃗n) = 0.$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗s− ⃗n :$

(0− 0,75;− 2− (− 5)) = (− 0,75;3).

Тогда

⃗k⋅(⃗s− ⃗n) = − 4 ⋅(− 0,75)+ k0 ⋅3 = 3+ k0 ⋅3 = 0.

Решая уравнение, находим $k0 = − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#75893Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение векторов $1,5⃗a$ и $⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов $⃗a(3;−8),$ $⃗b(3;1).$ Координаты вектора $1,5⃗a:$

(1,5⋅3;1,5 ⋅(− 8))= (4,5;−12).

Скалярное произведение равно

⃗ 1,5⃗a⋅b= 4,5 ⋅3+ (− 12) ⋅1 = 13,5− 12= 1,5.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#75894Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены векторы $⃗m$ и $⃗k.$ Найдите косинус угла между ними.

$110xy⃗m⃗k$

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов $⃗m (− 2;6)$ и $⃗k(3;9).$ По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Тогда косинус угла между векторами равен

( ) m⃗⋅⃗k cos ⃗m;⃗k = |⃗m-|⋅|⃗k|

Найдем скалярное произведение:

⃗ ⃗m ⋅k = −2 ⋅3+ 6⋅9= −6 +54 = 48

Найдем длины векторов:

|⃗m |= ∘(−2)2+-62 = √40 = 2√10 ∘------ √ -- √-- |⃗k|= 32+ 92 = 90= 3 10

Тогда получаем

( ) cos ⃗m;⃗k = -√--48√---= -48- = 0,8 2 10⋅3 10 6 ⋅10

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#83431Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b.$

$⃗⃗110xyab$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

⃗a= {−6− (−2);−4− 5}= {−4;−9},

⃗ b= {1− 6;− 2− 2}= {−5;−4}.

Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, имеем

⃗ ⃗a⋅b= −4⋅(−5)+ (−9)⋅(−4)= 20+ 36= 56

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#83745Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(17;−5)$ и $⃗b(3;10).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ b.$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x x + y y 1 2 1 2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b =17 ⋅3 + (− 5) ⋅10 = 51 +(− 50)= 1

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#99540Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 13;4)$ и $⃗b(−6;1).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= − 13⋅(− 6)+ 4⋅1= 78+ 4= 82.

Ответ: 82

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#99541Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(14;−2)$ и $⃗b(5;− 8).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 14⋅5 +(−2)⋅(−8)= 70+ 16= 86.

Ответ: 86

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#99542Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 3;5)$ и $⃗b(1;13).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= −3 ⋅1+ 5⋅13= −3+ 65 =62.

Ответ: 62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#99560Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b =8 ⋅7+ 5⋅3= 56+ 15= 71.

Ответ: 71

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#99561Максимум баллов за задание: 1

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 7⋅5+ 3⋅2 =35 +6 = 41.

Ответ: 41

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#99562Максимум баллов за задание: 1

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 2 ⋅2+ 3⋅(− 1)= 4− 3= 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#87687Максимум баллов за задание: 1

Длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60∘.$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Мы знаем, что

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosφ,

где $φ$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Тогда

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ= =3 ⋅5⋅cos60∘ = 15= 7,5. 2

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#87688Максимум баллов за задание: 1

Длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны 3 и 7, а угол между ними равен $60∘.$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Мы знаем, что

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosφ,

где $φ$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Тогда

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ= = 3⋅7⋅cos60∘ = 21 = 10,5. 2

Ответ: 10,5