Тема 2. Задачи на векторы

2.04 Операции над векторами и координатами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#68080Максимум баллов за задание: 1

На плоскости даны три точки $A,$ $B$ и $C,$ не лежащие на одной прямой. На прямых $BC$ и $AC$ отмечены точки $A1$ и $B1$ соответственно так, что отрезки $AA1$ и $BB1$ пересекаются в точке $O.$ Известно, что $−−→ 2 −−→ 1 −→ CO = 3 ⋅CA1 + 3 ⋅CA.$ Найдите отношение $CA1 :CB,$ если известно, что $B1$ — середина $AC.$

$ACBBAO11$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$ACBBAO11$

Можно записать следующее:

−C−→O = −C−A→1 + −A−1→O −C−→O = −C→A + −A→O

Если сложить эти два равенства, то получим

( ) 2⋅−C−A→1 + 1 ⋅−C→A = −−C→O = 1⋅ −−C→A1+ −A−1→O + −C→A + −A→O 3 3 2 ( ) −C−A→ − −C→A = 3⋅ −A−→O+ −A→O 1 1

Но левая часть полученного равенства равна

−−→ −→ −−→ AA1 = AO − A1O

Отсюда получаем

−→ −−→ −−→ −→ AO −A1O = 3⋅A1O + 3⋅AO −→ −−→ 2⋅AO =− 4⋅A1O ⇒ AO = 2OA1

Значит, $AA1$ также медиана $△ABC,$ следовательно,

CA1 :CB = 1 :2= 0,5

Ответ: 0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#68091Максимум баллов за задание: 1

Из точки $X$ плоскости выходят два неколлинеарных вектора $−X−→A = ⃗a$ и $−−→ ⃗ XB = b.$ На отрезке $AB$ отмечена точка $O.$ Известно, что вектор $−−→ XO = α⋅⃗a+ β ⋅⃗b.$ Найдите произведение отношений $AO α BO-⋅β-.$

$⃗ AXB⃗abO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$AXB⃗a⃗bOk(AkB(11⋅11⋅−⃗b−ABkk))⋅⋅A⃗aB$

Пусть $AO$ составляет $k$ - ую часть от отрезка $AB,$ то есть $AO = k ⋅AB.$ Тогда $BO = AB − AO = AB − k⋅AB = (1− k)⋅AB.$ При таких обозначениях число $k ∈ (0;1).$

Проведем через точку $O$ прямые $OA1 ∥XB$ и $OB1 ∥ XA.$ Тогда $△AA1O ∼ △AXB,$ откуда

A1O- = AO-= k ⇒ −A−→O = k ⋅⃗b XB AB 1

Аналогично из $△BB1O ∼ △BXA$ следует, что

−−→ B1O = (1− k)⋅⃗a

Но по правилу параллелограмма ( $OA1XB1$ — параллелограмм по построению)

−−→ −−→ −−→ XO = A1O + B1O

Следовательно,

−−→ XO =(1− k)⋅⃗a+ k ⋅⃗b

Сопоставляя с $−−→ ⃗ XO = α⋅⃗a+ β ⋅b,$ получаем, что $α = 1− k,$ а $β = k.$ Следовательно,

AO α k 1− k BO- ⋅β-= 1−-k-⋅-k--= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#68467Максимум баллов за задание: 1

Последовательно против часовой стрелки из одной точки отмечены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗a ⃗b ⃗l = |⃗a| + |⃗b|.$ Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗l,$ если угол между векторами $⃗a$ и $⃗b$ равен $40∘.$ Ответ дайте в градусах.

$⃗a⃗b⃗l$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — длина вектора $⃗a,$ $b$ — длина вектора $b.$ Рассмотрим треугольник $ABC.$

$ACB⃗a⃗bK$

Проведем биссектрису $CK.$ Тогда по свойству биссектрисы

CA- = CB-- ⇒ -a- = -b-- ⇔ KA = --a- ⋅AB; KB = --b- ⋅AB KA KB KA KB a +b a + b

Тогда

−−→ -a-- ⃗ --b- -ab- a+-b −−→ ⃗b ⃗a ⃗ CK = a+ b ⋅b+ a +b ⋅⃗a |⋅a+ b ⇒ ab ⋅CK = b + a = l

Следовательно, вектор $⃗l$ лежит на биссектрисе $CK$ угла $ACB,$ обиразованного векторами $⃗a$ и $⃗b.$ Значит, делит этот угол пополам. Следовательно, $∠(⃗a,⃗l) =20∘.$

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#68470Максимум баллов за задание: 1

Дан вектор $−−O→C = α ⋅−O→A +(1− α)⋅−O−→B,$ число $α ∈ (0;1).$ Найдите $∠BAC.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Данное равенство можно переписать в виде

−O−→C − −O−→B = α(−O→A − −−O→B ) ⇔ −B−→C = α ⋅−B→A

Отсюда следует, что векторы $−B−→C$ и $−B→A$ коллинеарны. Так как $α∈ (0;1),$ то имеет место следующая картинка:

$BAC$

Следовательно, $∠BAC$ равен $0∘.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#68471Максимум баллов за задание: 1

В трапеции $ABCD$ известны основания $AD$ и $BC,$ причем $−−C→B = ⃗a,$ $−−D→A = ⃗b.$ Вектор $−−→ NM =x ⋅⃗a+ y⋅b$ параллелен основаниям трапеции. Найдите значение выражения $BM y AM--− x.$

$⃗ ABCD⃗abNM$

Показать ответ и решение

Пусть $BM = α ⋅AB,$ $AM = (1− α)⋅AB.$ Тогда $α ∈ (0;1).$ Тогда по свойству точки $N,$ не лежащей на отрезке $AB,$ имеем

−−→ −−→ −−→ ⃗p= NM = α ⋅NA + (1− α)⋅NB

Так как $MN ∥AD ∥BC,$ то $CN-- -α--- DN = 1− α.$ Следовательно,

−−→ −−→ NB = α⋅DC + ⃗a −N−→A = (α − 1)⋅−D−→C +⃗b

Следовательно,

⃗p= α(α− 1)⋅−−D→C + α⋅⃗b+ (1− α)⋅α⋅−D−→C +(1− α)⋅⃗a ⇔ ⃗p= α⋅⃗b+ (1− α)⋅⃗a

Сопоставляя это с $−−→ NM = x ⋅⃗a + y⋅b,$ получим, что

BM-- --α-- y AM = 1 − α = x

Следовательно,

BM y AM--− x = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#69653Максимум баллов за задание: 1

Даны точки $A(7;2x)$ и $B (x +2;8).$ Известно, что $O(α+ 0,5;α)$ — середина отрезка $AB.$ Найдите $α.$

$AOB$

Показать ответ и решение

Если даны точки $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то координаты середины отрезка $AB$ ищутся по формуле

(x1+-x2 y1+-y2) O 2 ; 2

Следовательно, имеем систему

$pict$

Следовательно, ответ 4.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#69654Максимум баллов за задание: 1

Даны две точки $A(2;− 5)$ и $B(5;7).$ Известно, что $M$ — такая точка отрезка $AB,$ что $AM :MB = 1:3.$ Найдите абсциссу точки $M.$

$AMB$

Показать ответ и решение

Если $O$ — середина отрезка $AB,$ то $M$ — середина отрезка $AO.$

Если даны точки $A (x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то координаты середины отрезка $AB$ ищутся по формуле

(x1+ x2 y1+ y2) O --2---;--2---

Отсюда получаем

( ) O 7;1 2

Тогда для середины $M$ отрезка $AO$ имеем:

( 11 ) M 4 ;−2

Следовательно, ответ 2,75.

Ответ: 2,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#69776Максимум баллов за задание: 1

Дан параллелограмм $ABCD,$ где $O$ — точка пересечения диагоналей. Точка $M$ на стороне $AD$ такая, что $AM :MD = 1 :2.$ Если $−−→ −→ −−→ OM = α⋅AB + β ⋅BC,$ то найдите $α β.$

$ABCDMO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж:

$ABCD⃗a⃗bMO$

Тогда $−→ AC = ⃗a +⃗b,$ следовательно,

( ) −A→O = 1 ⃗a+⃗b 2

Кроме того, имеем:

AM :MD = 1 :2, −−A→D = ⃗b ⇒ −A−→M = 1⃗b 3

Следовательно,

−O−M→ = −A−→M − −A→O = − 1⃗a− 1⃗b 2 6

Тогда имеем:

1 1 α = −2 , β = − 6

Отсюда получаем $α β-= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#69831Максимум баллов за задание: 1

Даны точки $M(− 2;− 1)$ и $N (3;1).$ Вектор $−M−N→$ — направляющий вектор прямой $l.$ Точка $O$ лежит на прямой $l,$ причем $−−→ −−→ MN =NO.$ Найдите абсциссу точки $O.$

$xyMNl$

Показать ответ и решение

Из координат точек $M$ и $N$ следует, что координаты вектора $−M−N→(5;2).$ Так как точка $O$ лежит на прямой $MN,$ то координаты точки $O$ ищутся как сумма координат точки $N$ и вектора $−−→ −−→ NO = MN.$ Тогда имеем:

O (3 +5;1+ 2)= (8;3)

Следовательно, абсцисса точки $O$ равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#69832Максимум баллов за задание: 1

Дан вектор $−O−→K (5;2),$ причем $K(7;0).$ Найдите ординату точки $O.$

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то

−A→B (x − x ;y − y ) 2 1 2 1

Следовательно, ордината точки $O$ ищется из

0− y = 2 ⇔ y =− 2

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#68045Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Разложите вектор $⃗c$ в линейную комбинацию векторов $⃗a$ и $⃗ b,$ то есть найдите такие числа $α$ и $β,$ что $⃗c= α⋅⃗a +β ⋅⃗b.$ В ответе запишите число, равное $α − 3β.$