Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.14 Окружность: центральный и вписанный углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#106650Максимум баллов за задание: 1

Точки $A$ и $C$ разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна $280∘$ и на которой отмечена точка $B.$ Найдите угол $BAC,$ если $AB = AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$A⌣BC= 280∘,$ следовательно, меньшая дуга

⌣ AC= 360∘− 280∘ = 80∘

Т.к. угол $ABC$ опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть $∘ 40 .$

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, следовательно,

∠BAC = 180∘− 2 ⋅40∘ = 100∘

Ответ: 100

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#137435Максимум баллов за задание: 1

Центральный угол на $32∘$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности, $A$ и $B$ — точки на окружности, на которые опирается центральный угол, $C$ — вершина вписанного угла.

$ABCO?$

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на дугу $AB,$ значит,

∠AOB = 2∠ACB.

По условию центральный угол на $32∘$ больше острого вписанного угла:

∠AOB − ∠ACB =32∘ 2∠ACB − ∠ACB = 32∘ ∘ ∠ACB = 32

Таким образом, вписанный угол равен $32∘.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#137436Максимум баллов за задание: 1

Центральный угол на $29∘$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCO?$

∠AOB = 2∠ACB.

По условию центральный угол на $29∘$ больше острого вписанного угла:

∠AOB − ∠ACB =29∘ 2∠ACB − ∠ACB = 29∘ ∘ ∠ACB = 29

Таким образом, вписанный угол равен $29∘.$

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#137437Максимум баллов за задание: 1

Найдите центральный угол, если он на $28∘$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCO?$

1 ∠ACB = 2∠AOB.

По условию центральный угол на $∘ 28$ больше острого вписанного угла:

∠AOB − 1∠AOB = 28∘ 2 1∠AOB =28∘ 2 ∘ ∠AOB = 56

Таким образом, центральный угол равен $∘ 56.$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#137438Максимум баллов за задание: 1

Найдите величину центрального угла, если он на $69∘$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABC?O$

∠ACB = 1∠AOB. 2

По условию центральный угол на $69∘$ больше острого вписанного угла:

1 ∘ ∠AOB − 2∠AOB = 69 1∠AOB =69∘ 2 ∠AOB = 138∘

Таким образом, центральный угол равен $138∘.$

Ответ: 138

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#137439Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $16∘.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$OBDAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$OBDAC1?6∘$

Углы $∠AOD$ и $∠BOC$ равны как вертикальные:

∘ ∠AOD = ∠BOC = 16

Рассмотрим треугольник $BOC.$ В нем $BO = OC$ как радиусы окружности. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC.$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∠OBC = ∠OCB.

В треугольнике сумма углов равна $∘ 180,$ значит,

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180∘

Так как $∠OBC = ∠OCB,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠OCB = ∠OBC = 180-−-∠BOC--= 180-−-16--= 154-= 77∘. 2 2 2

Ответ: 77

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#137440Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $114∘.$ Найдите величину вписанного угла $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$OBDAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$OBDAC1?14∘$

Углы $∠AOD$ и $∠BOC$ равны как вертикальные:

∠AOD =∠BOC = 114∘

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∠OBC = ∠OCB.

В треугольнике сумма углов равна $180∘,$ значит,

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180∘

Так как $∠OBC = ∠OCB,$ то

∠OCB = ∠OBC = 180∘−-∠BOC--= 180∘−-114∘-= 66∘= 33∘. 2 2 2

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137441Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $130∘.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$OBDAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$OBDAC1?30∘$

Углы $∠AOD$ и $∠BOC$ равны как вертикальные:

∘ ∠AOD =∠BOC = 130

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∠OBC = ∠OCB.

В треугольнике сумма углов равна $∘ 180,$ значит,

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180∘

Так как $∠OBC = ∠OCB,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠OCB = ∠OBC = 180-−-∠BOC--= 180-−-130--= 50-= 25∘. 2 2 2

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#137442Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $32∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$OBDAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$OBDAC?32∘$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∘ ∠OBC = ∠OCB =32 .

В треугольнике сумма углов равна $180∘,$ значит,

∘ ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180

Воспользуемся равенством $∠OBC = ∠OCB = 32∘$ и выразим $∠BOC :$

∠BOC = 180∘ − ∠OBC − ∠OCB = =180∘− 32∘− 32∘ = 116∘.

Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:

∠AOD = ∠BOC = 116∘.

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137443Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $61∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$OBDAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ OBDAC?61$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∠OBC = ∠OCB =61∘.

В треугольнике сумма углов равна $∘ 180,$ значит,

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180∘

Воспользуемся равенством $∘ ∠OBC = ∠OCB = 61$ и выразим $∠BOC :$

∠BOC = 180∘ − ∠OBC − ∠OCB = = 180∘− 61∘ − 61∘ = 58∘.

Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:

∠AOD = ∠BOC =58∘.

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#39627Максимум баллов за задание: 1

В четырехугольнике $ABDC$ треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют равные углы $B$ и $D,$ причем отрезок $BD$ не пересекает прямую $AC.$ Найдите угол $DAC,$ если угол $DBC$ равен $60∘$ , а в сумме они меньше $180∘.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Четырехугольник $ABDC$ — вписанный, так как по условию $∠ABC = ∠ADC$ и точки $B$ и $D$ лежат в одной и той же полуплоскости относительно $AC.$

Таким образом, углы $CBD$ и $CAD$ опираются на одну хорду. Значит, они либо равны, либо в сумме дают $∘ 180 .$ По условию второй случай невозможен, значит $∘ ∠CBD = ∠CAD = 60$ .

$PIC$

Ответ: 60