Тема Курчатов

Многочлены на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68027

Многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ с действительными коэффициентами имеют степень 10. Известно, что для любого действительного $x$ верно

P(x)⋅Q(x) ≥|P(x)|.

Какое наибольшее количество различных корней может быть у многочлена $P(x)⋅Q (x)?$

Источники: Курчатов-2023, 11.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Показать ответ и решение

Пример. Пусть $P(x)= (x− 1)2(x− 2)2(x− 3)2(x − 4)2(x− 5)2,Q(x)= x10+ 1.$ Тогда, действительно, для любого $x∈ ℝ:$

P(x)⋅Q(x) ≥|P(x)|.

Оценка. По свойству модуля: $|P (x)⋅Q(x)|≥ P(x)⋅Q (x)≥ |P (x)|.$ Тогда получим такое неравенство:

|P(x)⋅Q(x)|≥ |P(x)|.

Пусть $x0$ является корнем $Q(x),$ тогда подставим его в это неравенство:

0 ≥|P(x )|. 0

Значит, $P(x0)= 0,$ то есть множество корней $P(x)⋅Q (x)$ совпадает с множеством корней $P(x).$ Теперь будем рассматривать $x,$ которые не является корнями $P(x),$ тогда разделим на $|P (x)|,$ получим, что $|Q(x)|≥ 1.$

Докажем, что многочлен $Q (x)$ либо хотя бы $1$ при всех рассматриваемых $x,$ либо не превосходит $− 1$ при всех рассматриваемых $x.$ Для этого предположим противное, пусть есть такие $x1,x2,$ что $Q(x1)≥ 1;Q (x2)≤ −1.$ Но из непрерывности $Q (x)$ следует, что все значения на промежутке $[Q(x2),Q(x1)]$ будут достигаться. А также поскольку множество корней $P(x)$ конечно, то получим противоречие с условием $|Q (x)|≥1.$

Для определенности будем рассматривать случай, когда $Q(x)≥ 1.$ Так как

P(x)⋅Q(x)≥ |P(x)|≥ 0,

то $P(x) ≥0,x∈ ℝ.$ Это означает, что у $P(x)$ не может быть корней кратности $1$ , ведь иначе в окрестности любого из таких корней многочлен принимал бы значения разных знаков. Значит, каждый корень многочлена P(x) имеет кратность не менее $2;$ а так как сумма кратностей корней не превосходит степень многочлена, корней у $P (x)$ не более $5.$

Ответ: 5