Многочлены на Курчатове

Пример. Пусть Тогда, действительно, для любого

Оценка. По свойству модуля: Тогда получим такое неравенство:

Пусть является корнем тогда подставим его в это неравенство:

Значит, то есть множество корней совпадает с множеством корней Теперь будем рассматривать которые не является корнями тогда разделим на получим, что

Докажем, что многочлен либо хотя бы при всех рассматриваемых либо не превосходит при всех рассматриваемых Для этого предположим противное, пусть есть такие что Но из непрерывности следует, что все значения на промежутке будут достигаться. А также поскольку множество корней конечно, то получим противоречие с условием

Для определенности будем рассматривать случай, когда Так как

то Это означает, что у не может быть корней кратности , ведь иначе в окрестности любого из таких корней многочлен принимал бы значения разных знаков. Значит, каждый корень многочлена P(x) имеет кратность не менее а так как сумма кратностей корней не превосходит степень многочлена, корней у не более