Тема ТурЛом (турнир Ломоносова)

Системы на Турломе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турлом (турнир ломоносова)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90448

Пусть $x <y$ — положительные действительные числа такие, что

√ - √- √---- ∘ ---- x+ y = 4 и x +2+ y+2 =5.

Найдите $x$ .

Источники: Турнир Ломоносова - 2024, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте в обоих уравнениях в одной части оставить корни от одной и той же переменной и возвести в квадрат.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы можем избавиться от второй переменной, выразив её в обоих уравнениях системы через первую и записав за счёт этого новое равенство для одной переменной.

Подсказка 3

Попробуйте снова перенести одно выражение с корнем в одну часть, а всё остальное в другую и возвести в квадрат. Так мы получим квадратное уравнение относительно корня из x.

Показать ответ и решение

Запишем равенства в следующем виде:

√ - √ - ∘ ---- √---- y = 4− x и y+2 =5 − x +2.

Учитывая ограничение $x ≤16$ возведём их в квадрат и выразим $y$ :

√ -2 √----2 y = (4 − x) и y = (5− x+ 2)− 2.

Получаем уравнение

(4− √x)2 = (5− √x-+2)2− 2.

После раскрытия полных квадратов и приведения подобных оно примет вид

10√x+-2= 8√x+ 9.

После возведения в квадрат получим уравнение

36x− 144√x − 119= 0.

Решая его как квадратное относительно $x$ , получаем

√-- 17 √-- 7 x1 =-6 , x2 =6,

откуда

x1 = 289,x2 = 49. 36 36

По ОДЗ оба корня проходят, но при первом корне $y < x$ , значит он не подходит.

Ответ:

$49 36$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68031

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

5 3 x +y = y+ x = 23

Какое наибольшее значение может принимать произведение $xy?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?

Подсказка 2

Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?

Подсказка 3

Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!

Показать ответ и решение

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

{ xy+ 5= 23y xy+ 3= 23x.

Значит:

(xy+ 5)(xy+ 3) =232xy

Пусть $t=xy :$

t2+ 8t+15 =529t

t2− 521t+15= 0

Тогда получим:

√ ------ t= 521±--271-381. 2

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем $x,y,$ подставляя $xy.$ Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что $x⁄= 0,y ⁄=0.$

Ответ:

$521+√271381 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76576

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что $x(x+ 1)y =6,$ а $x3(x3+ 1)y3 = 126.$ Какие значения может принимать выражение $2( 2 ) 2 x x + 1y ?$ Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Источники: Турнир Ломоносова - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть система уравнений, казалось бы. И мы хотели бы ее решить. Однако, решать в лоб - долго и можно ошибиться. Нам нужно как-то составить из этой системы уравнение на x. При этом, y в нашей системе в одной форме(то есть, на него просто умножают все выражение в конце, на какую то степень). Как тогда можно составить уравнение, в котором есть только х?

Подсказка 2

Верно, возведем первое в куб. Тогда, у нас получится (xy)^3 * (x + 1)^3 = 6^3, (xy)^3 * (x^3 + 1) = 126. Поделим первое на второе и получим уравнение на х (квадратное, ведь x + 1 сократился, когда поделили). Значит, нашли корни. Осталось найти y и подставить в искомое выражение.

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в куб и поделим на второе: