Тема ТурЛом (турнир Ломоносова)

Последовательности и прогрессии на Турломе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турлом (турнир ломоносова)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68032

Арифметическая прогрессия $a ,a,... 1 2$ задана первыми двумя членами: $a = 381,a = 406. 1 2$ Определим последовательность $b k$ следующим образом: $b1 = a1 = 381,bk+1 =bk⋅ak+1$ для каждого $k ≥1.$ Тогда $b2 = 381⋅406= 154686.$ В записи этого числа используется 5 различных цифр: $1,4,5,6$ и 8. А какое наименьшее количество различных цифр может использоваться в записи числа $bk$ для натурального $k?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.2 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали всего лишь два члена каждой последовательности… Кажется, это маловато, поэтому давайте посчитаем еще несколько членов каждой из последовательностей! Что интересное мы видим?

Подсказка 2

Да, третий член последовательности b имеет всего лишь 2 различные цифры в своей записи! Что осталось сделать, чтобы сказать, что 2 — это ответ на вопрос задачи?

Подсказка 3

Да, достаточно показать, что любой член последовательности b не может состоять из одной цифры! Перебирать дальше члены последовательностей не имеет смысла, ведь числа получаются огромные, что может нам помочь в таком случае?

Подсказка 4

Конечно, надо подумать про делимость всех членов b, после третьего! Поскольку a₄ кратно 4, то все члены последовательности b, начиная с 4-ого кратны четырём! А что еще можно сказать про каждый член последовательности b?

Подсказка 5

Верно, каждый из них оканчивается на 6! Что осталось показать, чтобы решить задачу?

Показать ответ и решение

Оценка. Докажем, что всего одна цифра в записи $b k$ не может быть. Найдем $b ,a : 3 4$

a3 = a2+(a2− a1)= 431;

a4 = a3+(a3− a2)= 456;

b = b ⋅a = 66 669 666. 3 2 3

Заметим, что $a4$ делится на $4,$ значит $b4$ и все $bk$ будут делится на $4.$ Кроме того, каждое из $ak$ оканчивается или на $1,$ или на $6.$ Поэтому все $bk$ при $k ≥4$ будут оканчиваться на $6(6⋅1= 6,6⋅6 =36).$ Получается, если в записи $bk,k≥ 4,$ будет всего одна цифра, то это цифра $6.$ Тогда последние две цифры $bk$ это $66,$ т.е. $bk$ не делится на $4,$ противоречие.

Пример. В записи $b3$ используются только две цифры.

Ответ: 2