Планиметрия на ИТМО

Первое решение.

Продлим отрезок за точку на его длину, получим точку Пусть углы и равны по Тогда угол равен угол —

Теперь нетрудно вычислить, что углы и равны по то есть точки и симметричны относительно Следовательно, угол равен углу который, в свою очередь, равен углу поскольку треугольник равнобедренный. Углы и в сумме дают потому что четырёхугольник — вписанный. Отсюда получаем, что точки и коллинеарны.

Осталось заметить, что треугольник прямоугольный, потому что медиана равна половине стороны, к которой она проведена. То есть угол прямой, а значит смежный с ним угол также прямой.

Второе решение.

Из равнобедренности треугольника и параллельности и получаем

Пусть прямая пересекается с описанной окружностью треугольника в точке Тогда — вписанная, т.е. равнобедренная, трапеџия, откуда дуги и равны. Отсюда так как эти углы опираются на одну дугу. Значит, в равнобедренном треугольнике вьполняется равенство Кроме того,

Идея какого-либо дополнительного построения и ощутимые продвижения в подсчёте углов оцениваются половиной баллов. Только ответ - 0 баллов за задачу.