Планиметрия на ИТМО

Радиусы и равны друг другу и высоте трапеции. Из условия про пересечение лучей следует, что — меньшее основание.

Проведём вторую касательную к вписанной окружности треугольника параллельную основаниям трапеции. Обозначим за и точки пересечения этой касательной с отрезками и — трапеция.

Точки касания окружностей и оснований трапеции образуют квадрат со стороной . Если вырезать этот квадрат из трапеции и склеить оставшиеся части между собой, получится трапеция, равная .

Более точно, обозначим точки касания окружностей и с основаниями трапеции : пусть и лежат на ( ближе к ), и лежат на ( ближе к ). Кроме того, пусть — точки касания вписанной окружности с соответственно. Кроме того, пусть и — точки касания окружностей и с боковыми сторонами трапеции, и — центры окружностей и вписанной окружности треугольника .

Рассмотрим четырёхугольники и

как соответственные. , прямые.

Значит оставшиеся углы, и также равны. Значит, треугольники и равны. Следовательно, треугольники и также равны, а значит четырёхугольники и равны. Аналогично

Значит,

Пусть — длина высоты треугольника , проведённой из точки . Тогда длина высоты треугольника , проведённой из точки равна . Значит, коэффициент подобия треугольников и с одной стороны равен , а с другой , откуда . Значит, площадь треугольника равна

равнобедренный, поэтому Накрест лежащие углы равны: . Значит,

Повернём картинку на угол относительно точки так, чтобы точка перешла в точку Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая при этом повороте перейдёт в прямую Точка при этом перейдёт в такую точку на прямой что расстояние от неё до точки равно Таких точек две. Одна из них точка а вторая — какая-то точка

Значит, или как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку равнобедренный, причём равен тому из углов и который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов и которые даны в каждом их вариантов). Если тупой, точка очевидно лежит на луче и Если же острый, и точка находится на луче При этом во всех вариантах т.е. поэтому точка лежит ближе к чем , т.е. попадает на отрезок Значит,

Применим инверсию относительно окружности Окружность перейдёт сама в себя, окружности и — в параллельные прямые и первая из которых проходит через точку переходящую при инверсии переходит сама в себя.

Точки и переходят при этой инверсии друг в друга, поскольку

Это равенство следует из подобия треугольников и никаким другим образом эти треугольники подобны быть не могут, так как у них общий угол а точки и мы предполагаем различными).

Окружность переходит в окружность, касающуюся прямых и в точках и соответственно. Так как прямые параллельны, это значит, что длина отрезка равна расстоянию между этими прямыми.

Опустим из точки перпендикуляр на прямую Это перпендикуляр пересечёт окружность в точке инверсной основанию перпендикуляра и диаметрально противоположной . Это значит, что

Треугольники и — прямоугольные с общей гипотенузой и катетом, равным радиусу окружности, поэтому они равны. Значит, их высоты падают в одну точку общей гипотенузы, то есть — высота в треугольнике . Поэтому точки и лежат на окружности с диаметром . Аналогично точки и лежат на окружности с диаметром . Поскольку диаметры этих окружностей равны, градусные меры дуги в этих окружностях совпадают. В первой окружности на эту дугу опирается , а во второй - , значит, эти углы равны. (Именно равны, а не дополняют друг друга до , потому что точки и лежат по разные стороны от прямой , а окружности симметричны относительно неё).

Аналогично . Сложив это с предыдущим равенством, получим . Аналогично , то есть четырёхугольник — параллелограмм.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно понять, что вершины четырёхугольника инверсны вершинам четырёхугольника относительно нашей окружности, то есть мы только что повторили доказательство теоремы о том, что четырёхугольник, инверсный описанному, является параллелограммом.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Значит, вместо длины отрезка мы можем найти длину отрезка .

По свойству высоты прямоугольного треугольника, . Аналогично , откуда . Кроме того, угол в треугольниках и общий, поэтому они подобны с коэффициентом . Значит,

Рассмотрим окружность, на которой лежат точки и Точка равноудалена от точек и поэтому является серединой дуги Значит, — биссектриса угла в треугольнике

Точка лежит на луче и находится на том же расстоянии от точки что точки и поэтому по лемме о трезубце является центром вписанной в треугольник окружности, а значит, тоже биссектриса.

Обозначим точку касания вписанной окружности и стороны за Тогда точка лежит на отрезке Это следует, например, из теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного шестиугольника

Тогда

поскольку

Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине за , к вершине — за и т.д., а полупериметр пятиугольника за Тогда

Первое решение.

Продлим отрезок за точку на его длину, получим точку Пусть углы и равны по Тогда угол равен угол —

Теперь нетрудно вычислить, что углы и равны по то есть точки и симметричны относительно Следовательно, угол равен углу который, в свою очередь, равен углу поскольку треугольник равнобедренный. Углы и в сумме дают потому что четырёхугольник — вписанный. Отсюда получаем, что точки и коллинеарны.

Осталось заметить, что треугольник прямоугольный, потому что медиана равна половине стороны, к которой она проведена. То есть угол прямой, а значит смежный с ним угол также прямой.

Второе решение.

Из равнобедренности треугольника и параллельности и получаем

Пусть прямая пересекается с описанной окружностью треугольника в точке Тогда — вписанная, т.е. равнобедренная, трапеџия, откуда дуги и равны. Отсюда так как эти углы опираются на одну дугу. Значит, в равнобедренном треугольнике вьполняется равенство Кроме того,

Идея какого-либо дополнительного построения и ощутимые продвижения в подсчёте углов оцениваются половиной баллов. Только ответ - 0 баллов за задачу.

Согласно лемме о трезубце , а по теореме синусов в треугольнике

По теореме синусов в треугольнике имеем , поэтому по формуле синуса двойного угла

По формуле косинуса половинного угла

поэтому

Рассмотрим точку — середину дуги описанной окружности треугольника . По лемме о трезубце . Треугольники и подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке равны как вертикальные, потому что точки и лежат на одной прямой — биссектрисе угла ). Аналогично подобны треугольники и .

Отсюда получаем

(первое равенство из первого подобия, второе — из второго). Раскрывая пропорцию, имеем . Из этого равенства следует требуемое равенство площадей треугольников и , поскольку углы при вершине в треугольниках и равны как вертикальные.

Докажем, что точки и лежат на одной окружности с центром в

Пусть точка — центр описанной окружности треугольника ; — такая точка, что середина ; точки и — середины дуг и описанной окружности треугольника , а точки — центры вневписанных окружностей треугольника , касающихся сторон и соответственно. Тогда по лемме о трезубце точки и — середины и соответственно.

В треугольнике отрезок является средней линией, значит . Аналогичные равенства получаем и для остальных пар отрезков:

и так как , получаем

то есть точки и лежат на одной окружности с центром в , что и требовалось доказать. Заметим, что вместо последнего абзаца можно было применить преобразование подобия (гомотетию) с центром в точке и коэффициентом