Планиметрия на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
точка 
— центр вписанной окружности, точка 
взята таким образом, что точка 
является
серединой отрезка 
Докажите, что точка 
и центры вневписанных окружностей треугольника 
лежат на одной
окружности.
Источники:
Докажем, что точки 
и лежат на одной окружности с центром в 
Пусть точка 
— центр описанной окружности треугольника 
; 
— такая точка, что 
середина 
; точки 
и 
—
середины дуг 
и 
описанной окружности треугольника 
, а точки 
— центры вневписанных окружностей
треугольника 
, касающихся сторон 
и 
соответственно. Тогда по лемме о трезубце точки 
и 
— середины
и 
соответственно.
В треугольнике 
отрезок 
является средней линией, значит 
. Аналогичные равенства получаем и для остальных
пар отрезков:
и так как 
, получаем
то есть точки 
и лежат на одной окружности с центром в 
, что и требовалось доказать. Заметим, что вместо
последнего абзаца можно было применить преобразование подобия (гомотетию) с центром в точке 
и коэффициентом
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
