Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли

Поскольку у параллелепипедов ребра соответственно параллельны, мы можем ввести декартову систему координат, направив оси вдоль трех ребер, смежных с одной вершиной (которая станет началом координат) выбранного параллелепипеда. В этой системе координат ребра всех параллелепипедов будут параллельны осям. Спроектировав на ось Ох данный -ый параллелепипед получим отрезок, который обозначим Любая пара таких отрезков имеет непустое пересечение (в противном случае соответствующая пара параллелепипедов не пересекается).

Таким образом, приходим к такой задаче: на числовой прямой есть попарно пересекающиеся отрезки и требуется доказать, что у них имеется общая точка. Опытные олимпиадники могут сразу сослаться на теорему Хелли. Мы же приведём её доказательство, чтобы не оставлять у неопытных читателей чувство неловкости.

Пусть – наибольшее значение среди левых концов отрезков, т.е. и аналогично, пусть — наименьшее значение среди правых концов отрезков. Тогда так как в противном случае для некоторых и а значит, -ый и -ый отрезки не пересекаются. Отсюда следует, что любая точка отрезка будет общей для всех наших отрезков. Итак, пусть точка принадлежит проекциям на ось Ох всех параллелепипедов. Точно так же мы можем найти общие точки и проекций на оси Oy и Oz. Тогда точка с координатами будет принадлежать всем параллелепипедам.