Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли

Рассмотрим все пятиугольники, образованные пятерками соседних вершин. Заметим, что все они выпуклые. Заметим, что любые три пятиугольника суммарно покрывают вершины исходного семиугольника раз. Тогда по принципу Дирихле какая-то вершина покрыта хотя бы раза. То есть мы показали, что любые пятиугольника имеют общую точку. Тогда по теореме Хелли есть точка, принадлежащая всем пятиугольникам. Предположим, что она лежит на границе одного из пятиугольников. Такое возможно, только если эта точка лежит на некоторых диагоналях семиугольника. Немного подвинем ее, чтобы она попала строго вовнутрь всех пятиугольников. Теперь мы нашли точку, которая не лежит ни в одном из четырехугольников (так как она лежит в их дополнениях).