Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Стереометрия на ФЕ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120578

Назовём экономичностъъ многогранника отношение его объёма к площади поверхности. Можно ли разрезать правильный тетраэдр экономичностью $E$ на $5$ частей, сумма экономичностей которых равна $3E?$

Источники: ФЕ - 2025, 11.4(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм.. сразу и не угадаешь, но понимаем что разрезание в таких задачах обычно симметрично, подумайте как можно этого добиться.

Подсказка 2

Представьте, что мы отрезаем от тетраэдра одинаковые маленькие тетраэдры. Как изменится объём и площадь поверхности у этих частей по сравнению с исходным телом?

Подсказка 3

Какая фигура останется в центре после отрезания 4 маленьких тетраэдров от вершин? Какие у неё свойства объёма и площади? Остаётся лишь сложить экономичности всех фигур. Что получится в сумме?

Показать ответ и решение

Отрежем от каждой вершины тетраэдра по маленькому тетраэдру с ребром вдвое меньшим, чем у исходного. У каждого маленького тетраэдра объём в 8 раз меньше, чем у исходного, а площадь поверхности — только в 4 раза, поэтому экономичность каждого из них равна $E ∕2.$ В середине останется октаэдр, у которого и объём, и площадь поверхности вдвое меньше, чем у исходного тетраэдра, поэтому его экономичность равна $E.$ Действительно, поверхность октаэдра состоит из 8 треугольников, а исходного тетраэдра — из $4⋅4= 16$ таких же треугольников. А объём октаэдра равен $V − 4⋅V∕8= V∕2,$ где $V$ — объём тетраэдра.

Итого сумма экономичностей равна $E+ 4⋅E∕2= 3E.$

$PIC$

Ответ:

Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68182

На плоскости в ортогональной проекции изображена правильная пирамида $SABC$ (с основанием $ABC$ ) и высота $AH$ грани $SAB,$ как показано на рисунке.

$PIC$

Как с помощью циркуля и линейки построить изображение центра сферы, описанной возле пирамиды?

Источники: ФЕ-2023, 11.4 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумаем, вообще где должен быть центр сферы. Ну он лежит точно в плоскости, которая перпендикулярна ребру... А через какую точку на ребре будет проходить такая плоскость?

Подсказка 2

В нашем случае - через середину, а середину ребра мы точно сможем сделать) Теперь подумаем где еще может быть центр описанной окружности в правильной пирамиде. Например, на высоте) А эту высоту как раз можно найти в нашей плоскости. Но надо еще понять как построить само основание высоты...

Подсказка 3

В нашем случае, основание высоты будет также центром основания и пересечением медиан, которое мы точно умеем строить: просто пересекая медианы. Осталось найти еще бы одну прямую, что если пересечь ее с высотой, то получится нужная точка....

Подсказка 4

Напомню, что прямая AH перпендикулярна ребру SB, а у нас еще есть середина стороны...

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $M$ - середина $AC,$ $N$ - центр основания $ABC.$ Тогда центр описанной сферы лежит на $SN$ (поскольку пирамида правильная). Проекция $M$ строится как середина проекции $AC,$ а проекция $N$ – как точка, делящая проекцию $BM$ в отношении $2:1.$ Обозначим через $m$ прямую, параллельную $MH$ и проходящую через середину $SB.$ Она проходит через центр описанной сферы: $AH$ и $CH$ перпендикулярны $SB,$ так что $m$ перпендикулярна $SB,$ а также $m$ пересекает $SN.$ Проекция $m$ строится как параллельный перенос проекции $MH,$ проходящий через середину проекции $SB.$ Эта проекция пересекает проекцию $SN$ ровно в проекции центра описанной сферы.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74785

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA ′B′C′D ′$ отметили середину $O$ медианы $AM$ треугольника $AB ′D ′$ . Оказалось, что эта точка удалена от прямых $′ ′ AB ,AD$ и от грани $ABCD$ на расстояние 1 . Найдите объём параллелепипеда.

Источники: ФЕ-2022, 11.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем изучить картинку. Наша точка O равноудалена от прямых AD' и AB', следовательно она лежит на биссектрисе угла ∠D'AB'. Но по условию, O- середина медианы. Что мы тогда можем сказать про треугольник △D'AB'?

Подсказка 2

Верно, он равнобедренный! Тогда AD'=AB'. Значит и прямоугольные треугольники △AA'B' и △AA'D' равны по катету и гипотенузе. Нетрудно видеть, что расстояние от M до плоскости (ABCD) равно удвоенному расстоянию от O до этой же плоскости, т.е. 2. Давайте обозначим длину AB за x и попробуем выразить через нее остальные отрезки...

Подсказка 3

AB' и B'D' можно легко найти из теорем Пифагора. Тогда в треугольнике △D'AB' мы знаем все стороны ⇒ можем воспользоваться формулой для нахождения медианы AM. А что можно сказать про треугольники △AOX и △AB'M?

Подсказка 4

Точно, они подобны! Тогда B'M*AO/AB' = OX = 1, где X- основание перпендикуляра из O на AB'. Мы уже умеем выражать B'M, AO и AB' через x, поэтому мы сможем решить уравнение и найти x. Сделайте это и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $X$ и $Y$ - это основания перпендикуляров, опущенных из $O$ на $AB′$ и $AD′$ . Точка $O$ на медиане $AM$ равноудалена от сторон треугольника $AB ′D ′$ , поэтому она лежит также на биссектрисе; значит, медиана является биссектрисой, поэтому $AB ′ =AD ′.$

$△ADD ′ = △ABB ′$ по катету и гипотенузе, тогда $AB =AD.$ Обозначим длины отрезков $AB = AD$ и $AA ′$ через $x$ и $z$ . Тогда

√ --- √------- AB′ = AD′ = ∘x2-+z2,B′M =D ′M =--2x2,AO = -2x2+-4z2- 2 4

. Taкжe

′ ∘ -2-2----2- OX =OY = B-MAB⋅A′O-(из подобия △AOX и △AB ′M )= 14 x-(xx2++2z2z-)

Расстояние от точки $O$ до основания $ABCD$ в 2 раза меньше, чем расстояние от $M$ до основания $ABCD,$ то есть $OX = z2 = 1$ , откуда легко получается $z =2$ и

x2(x2+ 8)= 16(x2+ 4)

то есть $------ x =∘ 4+ 4√5$ . Объём равен $x2z = 8+8√5$ .

Ответ:

$8+ 8√5$