Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.21 Площадь многоугольника: различные формулы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2740Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь треугольника со сторонами $6,$ $5$ и $√13.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Применим формулу Герона для поиска площади треугольника:

∘ ------√----(------√--------)--(------√------)-(-------√-----)-- S = 6+-5+--13-⋅ 6+-5+---13− √13 ⋅ 6+-5+---13− 5 ⋅ 6+-5+--13-− 6 = 2 2 2 2 ∘-------√----------√-------√----------√----- = 6+-5+--13⋅ 6+-5−--13-⋅ 6+-13−-5-⋅ 5+-13−-6-= 2 2 2 2 ∘ ----√--------√----√-------√------ ∘ ------------------------- = 11+--13-⋅ 11−-13-⋅-13+-1-⋅-13−-1-= 1⋅ (112− (√13-)2) ⋅((√13)2− 12)= 2 2 2 2 4 1 ∘ --------------- 1 ∘ ------------- 1 = 4 ⋅ (121− 13)(13− 1)= 4 ⋅ (4⋅3 ⋅9)⋅(4⋅3)= 4 ⋅2⋅3⋅3⋅2 =9

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2777Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $8$ и $12,$ а угол между ними равен $30∘.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 1 1 SABC = 2 ⋅AC ⋅BC ⋅sin ∠C = 2 ⋅8 ⋅12 ⋅2 = 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#16078Максимум баллов за задание: 1

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $∘ 30 .$ Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

1 1 2 ∘ SABC = 2BA ⋅BC sin∠ABC = 2 ⋅10 sin30 = 25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#16079Максимум баллов за задание: 1

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $∘ 150.$ Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

1 1 2 ∘ SABC = 2BA ⋅BC sin∠ABC = 2 ⋅20sin150 = 100

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#16080Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен $∘ 30 .$

Показать ответ и решение

Пусть $∘ ∠C = 30.$

$PIC$

1 1 ∘ SABC = 2CA ⋅CB sin∠ACB = 2 ⋅8⋅12sin30 =24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#16081Максимум баллов за задание: 1

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим длины сторон через $a$ и $b,$ острый угол параллелограмма через $α.$

$PIC$

Тогда площадь прямоугольника равна $ab,$ а площадь параллелограмма $absinα.$ Запишем условие на отношение площадей

absin α 1 1 --ab--= 2 ⇔ sinα = 2

Угол $α$ острый и его синус равен $12,$ следовательно, $α = 30∘.$

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#16083Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол $∘ 30 .$

Показать ответ и решение

Опустим перпендикуляр $BH$ на $AD,$ по условию его длина равна 2.

$PIC$

Тогда треугольник $ABH$ — прямоугольный с углом $∘ B = 30$ и в нем $AB = 2BH = 4.$ Все стороны ромба равны 4, его площадь равна

SABCD = AB ⋅AD sin 30∘ =4 ⋅4⋅sin30∘ = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#16086Максимум баллов за задание: 1

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Стороны треугольника равны 5, 5, 6. Можем воспользоваться формулой Герона. Полупериметр треугольника равен $p = 5+52+6-= 8.$ Тогда по формуле Герона

∘ ----------------- √ -------- S = 8(8− 5)(8− 5)(8 − 6)= 8⋅3⋅3⋅2 =12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#16087Максимум баллов за задание: 1

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $∘ 30.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Показать ответ и решение

Обозначим боковую сторону треугольника через $x.$

$PIC$

Тогда площадь треугольника

1 2 ∘ S = 2x sin30 = 25 ⇒ x =10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#16088Максимум баллов за задание: 1

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $∘ 150.$ Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Показать ответ и решение

Обозначим боковую сторону треугольника через $x.$

$PIC$

Тогда площадь треугольника равна

1 2 ∘ S = 2x sin150 = 100 ⇒ x =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#16089Максимум баллов за задание: 1

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

1 S = 2 ⋅12⋅1= 6

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#16098Максимум баллов за задание: 1

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности

1 S = 2 ⋅20 ⋅3= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#44447Максимум баллов за задание: 1

Две стороны треугольника равны $2$ и $3,$ а косинус угла между ними равен $2√2. 3$ Найдите площадь треугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим $△ABC :$

2√2 AC = 2; BC = 3; cos∠C = -3--

$PIC$

По основному тригонометрическому тождеству $sin2∠C +cos2∠C = 1,$ следовательно,

∘ ---8- 1 sin∠C = 1− 9 = 3

Тогда площадь $△ABC$ равна

2⋅3⋅ 13 S = --2---= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#44448Максимум баллов за задание: 1

Две стороны треугольника равны $7$ и $8,$ а высота, проведенная к третьей стороне, равна $8√- 3 5.$ Найдите третью сторону, если она — большая из сторон.

Показать ответ и решение

Пусть $x> 8$ — третья сторона.

Значит, полупериметр треугольника равен $15+x- p= 2 .$

Тогда площадь треугольника равна

- ∘ ------------------ 1⋅x⋅ 8√5 =S = p(p− x)(p− 7)(p − 8) 2 3

$PIC$

Преобразуем:

∘------------------ S = p(p− x)(p− 7)(p− 8)= ∘ -15+-x-15−-x--x+-1--x−-1 = --2--⋅--2-- ⋅--2--⋅-2--= ∘ --------------- = 1 (225− x2)(x2 − 1) 4

Получаем уравнение

4x√5-= 1 ∘ (225−-x2)(x2−-1)- ⇔ 3 4 ⇔ 9x4 − 754x2+ 81⋅25= 0 ⇔ ⌊81 ⌊9 ⇔ x2 = ⌈ ⇒ x= ⌈ 259- 53

Так как $x >8,$ то $x= 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#44449Максимум баллов за задание: 1

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $13,$ $14$ и $15.$

Показать ответ и решение

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле

S = pr ⇔ r = S p

$PIC$

Полупериметр $△ABC$ равен

p = 13+-14+-15= 21 2

По формуле Герона площадь $△ABC$ равна

S = ∘-21(21−-13)(21−-14)(21−-15)= = √3⋅7-⋅4-⋅2⋅7⋅3⋅2= 3 ⋅7 ⋅4

Тогда

3⋅7⋅4- r = 21 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#44450Максимум баллов за задание: 1

Дан треугольник $ABC$ со сторонами 10, 10 и 12. Найдите радиус описанной около него окружности.

Показать ответ и решение

Будем искать радиус описанной окружности по формуле

abc R = 4S-

Опустим высоту $BH$ к основанию $△ABC.$ Так как он равнобедренный, то $BH$ — медиана, следовательно, $HC = 6.$

$PIC$

Тогда по теореме Пифагора $BH = 8.$

Следовательно,

10⋅10⋅12- 25 R = 4⋅ 12 ⋅12⋅8 = 4 = 6,25

Ответ: 6,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#44451Максимум баллов за задание: 1

Угол между диагоналями выпуклого четырехугольника был равен $60∘,$ а после поворота одной из диагоналей относительно точки пересечения диагоналей стал равен $∘ 30 .$ Найдите площадь полученного четырехугольника, если площадь исходного четырехугольника была равна $√ - 3.$

Показать ответ и решение

Пусть угол между диагоналями $ABCD$ равен $60∘,$ а угол между диагоналями $AB1CD1$ равен $∘ 30 .$ Диагонали при этом остались прежними.

$PIC$

По формуле площади выпуклого четырехугольника

√3 =S = d1d2sin60∘ ⇔ d d = 4 ABCD 2 1 2

Тогда

SAB CD = d1d2-sin30∘= 4-⋅ 12= 1 1 1 2 2

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#44452Максимум баллов за задание: 1

Средняя линия равнобедренной трапеции с площадью $24$ равна $6.$ Боковая сторона трапеции равна $5.$ Найдите большее основание трапеции.

Показать ответ и решение

Проведем высоты $CE$ и $BF.$ Они разбивают основание $AD$ на отрезки $AF = DE = a$ $(△ABF = △DCE$ как прямоугольные по катету и гипотенузе), $EF =BC = b$ $(FBCE$ — прямоугольник). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, следовательно, равна $a+ b= 6.$ Площадь трапеции равна

b+(2a+-b)- 24 24= S = 2 ⋅h =(a+ b)h ⇒ h= 6 = 4

$PIC$

По теореме Пифагора из $△DCE$ находим $ED = 3.$ Следовательно, большее основание

AD = (a+ b)+ a = 6+ 3= 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#44453Максимум баллов за задание: 1

Стороны параллелограмма равны $22$ и $44.$ Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна $33.$ Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 22,$ $CD = 44,$ $BH = 33$ — высота. Проведем высоту $BK =h$ на сторону $CD.$

$PIC$

Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена, то

AD ⋅BH = S = CD ⋅BK ⇒ 22⋅33= 44h ⇔ h = 22⋅33= 16,5 44

Ответ: 16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#44454Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 5,$ $BC = 2,$ боковая сторона которой равны $AB = 3,$ а угол $A$ равен $∘ 30.$

Показать ответ и решение

Проведем $CE ∥AB,$ тогда трапеция разобьется на параллелограмм $ABCE$ и треугольник $CED.$ Следовательно, $CE = AB = 3,$ $DE = AD − AE = 5− 2= 3.$ Так как $AB ∥CE$ и $AD$ — секущая, то $∘ ∠CED = ∠BAE = 30$ как соответственные углы.

$PIC$

Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, следовательно, получаем

∘ CE--⋅DE-⋅sin30∘ SABCD =SABCE + SCED = AB ⋅AE ⋅sin30 + 2 = 1 3 ⋅3⋅ 1 = 3 ⋅2⋅2 +---2-2 =5,25

Ответ: 5,25