Показатели и первообразные корни
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим все числа вида 
при 
Сколько из них делятся на 
Подсказка 1
Для начала давайте поймëм, что 10 никак не помогает в делимости на 1001. Значит, можно рассматривать делимость 10^{i - j} - 1 на 1001.
Подсказка 2
Делимость на 1001 рассматривать тяжело. Вместо этого давайте поймëм, что 1001 = 7 • 11 • 13, и отдельно рассмотрим делимость на каждое из этих простых чисел.
Подсказка 3
Так, теперь мы пришли к простым числам. На этом этапе стоит вспомнить свойства показателей и понять, как с ними связано i - j.
Заметим, что 
Ясно, что 
делиться на 
никак не помогает. Следовательно, для делимости
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие сравнения: 
и 
А это
равносильно тому, что 
делится на 
и 
Нетрудно посчитать, что 
и 
Таким образом, 
должно делиться на 
Теперь найти все подходящие значения нетрудно. Понятно, что 
может равняться 
— всего 
вариантов. Рассмотрим
уравнение ![i− j = 6k,k∈ [1;16].](/api/latex-service/v1/GetSession/157895/index-2602b0491eac8b384ed9ea44ef87a2cb.svg)
Оно имеет следующие решения 
Всего
значит надо просуммировать это выражение по всем ![k ∈[1;16].](/api/latex-service/v1/GetSession/157895/index-e1253a754f6ced93b8cbf32bf0ddeb58.svg)
Итоговый ответ: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
