Показатели и первообразные корни
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— простое. Докажите, что 
является первообразным корнем по модулю 
тогда и только тогда, когда 
является первообразным корнем;
— простое. Докажите, что 
является первообразным корнем по модулю 
тогда и только тогда, когда
Подсказка 1, пункт (a)
Ясно, что достаточно доказать утверждение только в одну сторону. Пусть s — показатель -a по модулю p. Может ли s быть нечетным?
Подсказка 2, пункт (а)
Поскольку s — показатель -a, то степени s остатков a и (-1) сравнимы по модулю p. А какая степень остатка a сравнима с 1?
Подсказка 3, пункт (a)
Верно, степень 2s! Но мы знаем, что 4k — показатель a, поэтому 4k | 2s, то есть 2k | s. Значит, s четное число. С каким числом сравнима s-я степень a?
Подсказка 1, пункт (b)
Сначала предположим, что a — первообразный корень по модулю p. Очевидно, что (2k+1)-я степень a сравнима с -1. Обозначим через s показатель -a. Что можно сказать об s?
Подсказка 2, пункт (b)
Верно! Тогда s делит 2k+1, следовательно, s не превосходит 2k+1. Остается понять, почему невозможно неравенство s < 2k+1. Для ответа на этот вопрос вспомним, что показатель a равен 4k+2!
Подсказка 3, пункт (b)
Теперь будем доказывать обратное. Пусть показатель -a равен 2k+1, а s — теперь показатель a. Тогда сразу получаем, что s делит 4k+2. Предположим, что s < 4k+2. Может ли s быть четным?
Подсказка 4, пункт (b)
Если s делит 4k+2 и меньше 4k+2, то s меньше 2k+1, поскольку оно четно. В чем противоречие?
Подсказка 5, пункт (b)
Верно! Тогда s-я степень -a сравнима с 1, хотя показатель у -a нечетный. Но тогда s нечетно, поэтому из s | (4k+2) следует, что s | (2k+1). А где тут противоречие?
(a) Достаточно доказать утверждение только в одну сторону, так как в обратную сторону утверждение получается заменой 
Итак, пусть 
— первообразный корень по модулю 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
Предположим, что 
нечетно, тогда 
поэтому 
Тогда 
то есть 
поэтому 
— четно,
получаем противоречие. Тогда 
Отсюда получаем, что 
Легко видеть, что при 
получаем верное
сравнение.
(b) Пусть 
— первообразный корень. Тогда 
То есть 
поэтому 
(что невозможно, иначе 
не
является первообразным корнем) или 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
следовательно,
Предположим, что 
Тогда 
при этом 
откуда 
поэтому 
что
противоречит тому, что 
является первообразным корнем. Значит, 
Обратно, пусть теперь 
Тогда 
поэтому 
Пусть 
Предположим, что
Тогда 
потому 
Если 
четно, то имеем 
при этом 
— противоречие. Тогда 
нечетно. Значит, из 
следует, что 
Но тогда 
и 
что невозможно. Значит, 
что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
