Тригонометрия на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но неизвестно, в каком
порядке. Всегда ли можно определить, где именно какое число?
Источники:
Подсказка 1
Как можно было бы доказать, что сделать этого невозможно?
Подсказка 2
Верно! Хотелось бы найти такие x и z, что для них получится одинаковый набор указанных тригонометрических функций и числа y, но в разном порядке. Например, sin(x) = cos(z). Какие различные тригонометрические функции для x и z можно было бы уравнять?
Подсказка 3
Попробуем сделать так, чтобы выполнялись равенства sin(z) = tg(x), cos(x) = tg(z). А каким можно взять y?
Подсказка 4
Верно! Будем строить y = cos(z) = √(1-tg²(x)). Из наших условий получается, что необходимо выполнение равенства cos(x) = tg(x)/√(1-tg²(x)). Что из этого равенства выходит?
Подсказка 5
Точно! Получается, что sin²(x) должен быть 1 - 1/√2 или 1/2. Осталось проверить, что найденные числа подходят!
Докажем существование таких чисел 
и 
что
и, кроме того,
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а во-вторых, 
и невозможно определить, где какое
число.
Решаем уравнение:
Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем
Обозначив 
получаем
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны.
Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение
чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что
также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них
нет.
Можно также просто вычислить эти числа, это 
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства
чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором 
и 
меняются
местами.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
