Тригонометрия на ИТМО

Докажем существование таких чисел и что

и, кроме того,

Тогда на доске находятся, во-первых, числа и а во-вторых, и невозможно определить, где какое число.

Решаем уравнение:

Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем

Обозначив получаем

Это уравнение имеет подходящий корень Осталось убедиться, что при таком значении все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или совпадают при квадрате синуса равном совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.

Можно также просто вычислить эти числа, это

Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором и меняются местами.