Тригонометрия на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася написал на доске три числа: 
и 
в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить,
какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:
(1) У Пети всегда получится определить, где 
где 
а где 
(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.
(3) Никогда не получится.
Источники:
Подсказка 1.
Интуитивно можем догадаться, что всё-таки при некотором наборе можно будет однозначно определить, какое число где, а при некотором не получится.
Подсказка 2.
Это верно для x₁ = π/2, x₂ = -π/2. Теперь наша цель найти такой набор, который получится однозначно определить. Возьмем x₀ = π/17. Тогда (sin(x₀), sin(2*x₀), sin(3*x₀)) = (sin(π/17), sin(2*π/17), sin(3*π/17))
Подсказка 3.
Например, при x = 2*π/17 + 2πk: sin(x) = sin(2*x0). Но sin(2*x) = sin(4π/17), что явно больше, чем sin(π/17) и sin(3*π/17). Получается, что при таком x получается другой набор синусов. Попробуйте доказать, что в каждом из остальных случаев также будет получаться другой набор синусов.
Если 
то их синусы различны и положительны.
Пусть найдётся 
для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём случаи возможных 
когда
совпадает с одним из написанных на доске чисел:
1) 
Синусы получаются такие же, как и для 
в том же порядке.
2) 
В этом случае 
и 
получаются такие же, как и для 
в том же порядке, а 
меняет знак, т.е.
получается другой набор чисел.
3) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
больше каждого из них.
4) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
отрицательно.
5) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
больше каждого из них.
6) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
отрицательно.
Таким образом, единственная возможность получить те же 3 синуса, это случай 1), в котором порядок синусов также совпадает.
Теперь приведём противоположный пример: рассмотрим 
Тогда 
С другой стороны, пусть
Тогда 
Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от
друга.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но неизвестно, в каком
порядке. Всегда ли можно определить, где именно какое число?
Источники:
Подсказка 1
Как можно было бы доказать, что сделать этого невозможно?
Подсказка 2
Верно! Хотелось бы найти такие x и z, что для них получится одинаковый набор указанных тригонометрических функций и числа y, но в разном порядке. Например, sin(x) = cos(z). Какие различные тригонометрические функции для x и z можно было бы уравнять?
Подсказка 3
Попробуем сделать так, чтобы выполнялись равенства sin(z) = tg(x), cos(x) = tg(z). А каким можно взять y?
Подсказка 4
Верно! Будем строить y = cos(z) = √(1-tg²(x)). Из наших условий получается, что необходимо выполнение равенства cos(x) = tg(x)/√(1-tg²(x)). Что из этого равенства выходит?
Подсказка 5
Точно! Получается, что sin²(x) должен быть 1 - 1/√2 или 1/2. Осталось проверить, что найденные числа подходят!
Докажем существование таких чисел 
и 
что
и, кроме того,
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а во-вторых, 
и невозможно определить, где какое
число.
Решаем уравнение:
Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем
Обозначив 
получаем
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны.
Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение
чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что
также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них
нет.
Можно также просто вычислить эти числа, это 
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства
чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором 
и 
меняются
местами.
